AtCoder Regular Contest 074 F - Lotus Leaves 最小割

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本文介绍了一种通过放置障碍来阻止迷宫中特定路径的算法。利用图论和最大流最小割原理，该算法能够在复杂迷宫环境中找到阻止敌对势力从起点到终点的最高效方法。

题意

你的敌对势力计划在一个网格状的迷宫里进行交易。迷宫共有n 行m 列，
其中一些房间有障碍物无法通行。敌对势力需要从房间S 走到房间T （房间S
和房间T 都没有障碍物）。他们拥有蓝月套装，因此每次可以从一个房间移动
到一个位于同一行或者同一列且没有障碍物的房间。为了阻止敌对势力的交易，
你需要在房间S 和房间T 以外的一些可通行房间内放入障碍，使得他们无法从
房间S 走到房间T。请计算出最少要在多少个房间放障碍。

2<=n,m<=100

分析

很快可以想到，把点拆开，然后中间流一条1的边，割掉花费1，然后一个变成进入的点，一个变成出去的点

这样如果直接每行每列连边的话，是N^2级别的，我们考虑对于一个每行和每列都建一个辅助点，然后就可以变成N+M的级别了

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define num(i,j,k) ((((i)-1)*m+(j))*2+k)
using namespace std;
const int N = 1000010;
const int inf = 1e9;
inline int read()
{
  int p=0; int f=1; char ch=getchar();
  while(ch<'0' || ch>'9'){if(ch=='-') f=-1; ch=getchar();}
  while(ch>='0' && ch<='9'){p=p*10+ch-'0'; ch=getchar();}
  return p*f;
}
struct node
{
  int x,y,c,next;
}edge[N]; int len,first[N];
void ins(int x,int y,int c)
{
  len++; edge[len].x=x; edge[len].y=y; edge[len].c=c; edge[len].next=first[x]; first[x]=len;
  len++; edge[len].x=y; edge[len].y=x; edge[len].c=0; edge[len].next=first[y]; first[y]=len;
}

int n,m; char str[310][310]; int s,d; int tot;

queue<int>q; int dep[N]; 

bool bfs()
{
  while(!q.empty()) q.pop(); q.push(s);
  for(int i=1;i<=tot+n+m;i++) dep[i] = 0; dep[s] = 1;
  while(!q.empty())
  {
    int x = q.front();
    for(int k=first[x];k!=-1;k=edge[k].next)
    {
      int y = edge[k].y;
      if(dep[y] == 0 && edge[k].c)
      {
        dep[y] = dep[x] + 1;
        q.push(y);
      }
    }
    q.pop();
  }
  return dep[d] > 0;
}

int dfs(int x,int flow)
{
  if(x==d || flow == 0) return flow;
  int delta=0;
  for(int k=first[x];k!=-1;k=edge[k].next)
  {
    int y = edge[k].y;
    if(dep[y] == dep[x] + 1 && edge[k].c && flow > delta)
    {
      int minf = dfs(y,min(flow - delta , edge[k].c));
      edge[k].c-=minf; edge[k^1].c+=minf;
      delta+=minf;
    }
  }
  if(delta==0) dep[x] = 0;
  return delta;
}

int main()
{
  len = 1; memset(first,-1,sizeof(first));

  n = read(); m = read();
  for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++)
  {
    scanf("\n%c",&str[i][j]);
    if(str[i][j] == 'S') s = num(i,j,0);
    else if(str[i][j] == 'T') d = num(i,j,1);
  }

  tot = num(n,m,1);
  for(int i=1;i<=n;i++) // tot + i
  {
    for(int j=1;j<=m;j++) // tot + n + j
    {
      if(str[i][j] == '.') continue;
      if(str[i][j] == 'o') ins(num(i,j,0) , num(i,j,1) , 1);
      else ins(num(i,j,0) , num(i,j,1) , inf);
      ins(num(i,j,1) , tot+i , inf);
      ins(num(i,j,1) , tot+n+j , inf);
      ins(tot+i , num(i,j,0) , inf);
      ins(tot+n+j , num(i,j,0) , inf);
      // printf("(%d,%d) ,  %d %d\n",i,j,i,j);
    }
  }

  int ans = 0;
  while(bfs())
    ans+=dfs(s,inf);
  return printf("%d\n",(ans >= inf) ? -1 : ans),0;
}