两个冲击函数相乘的傅里叶变换_积分变换（3）——傅里叶变换的性质

学习阶段：大学数学，积分变换。

前置知识：微积分、复变函数、傅里叶变换

tetradecane：积分变换（2）——连续傅里叶变换​zhuanlan.zhihu.com

我们总结一下傅里叶变换有哪些有用的性质。这些性质用傅氏变换的定义式即可证明，教科书上很容易找到。我会换一种方式，用尽可能直观、接近本质的方式来理解这些性质。

1. 线性性

设

，

为常数，则

傅里叶变换的本质，就是用各种频率不同的周期函数（频域）线性表示原始函数（时域），必然具有线性性。这与积分的线性性是一致的。

线性性质可用图1来概括。先变换再求和，与先求和再变换，结果是一致的。

图1 线性性质概括

2. 位移性

设

，

为常数，则

把时域的函数向右平移了

，相当于时间起点改到了

，那么频域的相位也要相应地退回。分量

在时刻

的值

的值作为起点，因此

乘上了该量。

把频域的函数向右平移了

，相当于把每个分量

的频率都减慢为了

，那么时间自然要加快以弥补这个变化。对分量

补乘上

，就能还原回原来的频率，因此

乘上了该量。

3. 放缩/相似性

设

，

为非零常实数，则

取

，那么

. 取

，则

，显然是将每个分量的频率都加快为了原来的两倍。为了抵消这个变化，让

除以2，但同时分量的系数也成比例变了，如图2所示：

图2 系数成比例变化

除以

，会让分量

变为

的同时，其系数也变为了

倍。因此，最终

要再除以

.

对于上述例子，利用

函数的放缩性，易得

4. 对称性

设

，则

对圆周运动的典型分量

做两次变换观察一下，如图3所示：

图3 e^(it)做两次傅氏变换

首先对

进行各种频率的反向旋转，

时平均为0，

时叠加出无穷大，得到

，这是第一次变换。再对

做第二次变换，变换的结果是把每个频率的起点都改为

，最终

时平均为0，

时叠加出无穷大，正好时域上构成一冲激强度为

的冲激函数。频域脉冲对应时域圆周，时域脉冲对应频域圆周，这构成了对称性。

实际上，函数

既可以用一系列圆周函数

线性表示为

，又可以用一系列冲激函数

线性表示为

，这是两种非常重要的思想。傅氏变换会把圆周

变为脉冲，脉冲翻转后变为圆周，因此具有

的关系。大致示意图如图4所示：

图4 对称性示意图

5. 微分关系

设

，只要相关的导数存在，则

对于复值函数

，

的含义是复值速度，其中实部表示沿实轴方向的速度，虚部表示沿虚轴方向的速度。每次对

求导会让起点逆时针旋转

并伸缩至

倍，但不改变频率，如图5所示：

图5 对e^(iωt)求导

根据求导公式也容易直接写出

对t的n阶导数是

.

因此

对t求n阶导时，频谱只需要简单地把每个分量

乘上

，即

乘上

.

对

求导时，考虑将

分解为冲激函数，且时域的

分量对应频域的

分量。

对

求n阶导数得到

，那么

的每个分量

也只需要简单地乘上

即可。

只会在

时影响到整体的值，故求和之后得到的是

.

6. 积分关系

设

，则

这与微分关系是一致的，取

即可。

由于

，这个任意常数

会在频谱中带来一个冲激函数

，而

时

无意义，因此这个公式不考虑

的情况。

7. 帕萨瓦尔（Parseval）定理

设

，则

这个定理充分体现了

这些基底在

内积下的正交性。

中的一个分量

分别乘以

中的每一个分量

并对

做积分，在

时积分结果为0，在

时积分结果为1. 也就是说，两个函数只有频率相同的分量的系数才会相乘。

中分量

的系数近似为

，同理

中

的系数近似为

，那么两者乘积的

的系数即可近似为

. 如图6所示：

图6 对应点系数相乘

因为

算的是

，那么

中

分量算出的是

，最后把所有

求和并取极限即可得到帕萨瓦尔定理。

特别地，若取

，则可得到

8. 卷积与卷积定理

8.1 卷积

冲激函数的筛选性质

非常重要，我们称这个运算是

与

的卷积。一般地，定义

与

的

卷积（convolution）为

视第二个函数为冲激函数的线性组合，即

，那么它的

分量的系数可近似为

，而

与

卷积得到

，相当于把

向右平移了

个单位。因此，卷积的含义是：

的起点平移到

处，就把函数值放缩为原来的

倍。对于任意的

，把所有这些平移且放缩过的

函数叠加的结果。如图7所示：

图7 卷积的示意图

概括来说，卷积就是

的滑动加权和，权重由

决定。

同时，如果只考虑

的一个冲激函数分量，则在卷积中会生成一个滑动加权的

，且由

控制。也就是说，卷积具有

交换律。如图8所示：

图8 卷积交换律的示意图

实际上，卷积还满足结合律和分配律，这里不再详述。

8.2 时域卷积定理

若

，则

按照8.1节对卷积的理解，将

拆成各种

分量，且系数近似为

. 那么

对于一个分量的卷积，相当于平移后加权。根据第2节的位移性，易得频谱函数变为

，对

求和就得到了

.

8.3 频域卷积定理

若

，则

这里我们把

拆成各种

的分量，且系数近似为

. 那么

对于一个分量的卷积，也是平移后加权。根据第2节的位移性，易得时域函数变为

，对

求和就得到了

.