常用函数的傅里叶变换_傅里叶变换简介

傅里叶变换是一种线性积分变换，用于信号在时域和频域之间的表示，在数学、物理、数字信号处理等领域有重要应用。

我们常看到傅里叶级数、傅里叶变换、离散时间傅里叶变换、离散傅里叶变换等概念，本文对这些概念进行简单的梳理和介绍。

1. 傅里叶级数

考虑一个在区间 上可积的函数 ，其傅里叶级数 (Fourier Series - FS) 为

其中

说明 为了简化括号，我们把, 简写为，，下文以此类推。

由欧拉公式 得

代入可得

令

则可以得到傅里叶级数的复数形式

根据，可写成如下形式：

2. 傅里叶变换

傅里叶变换 (Fourier Transform - FT) 可以看作傅里叶级数的连续形式。

首先考虑定义在 上的函数的傅里叶级数展开：

其中

根据上式，我们也可以把理解为关于的一个函数, 即

其中是一个常数，令

我们有