数学物理方法pdf_一根杆子上的时空情缘：一维热传导（求解：用分离变量法）（数学物理方法学习心得）...

感谢性感的傅立叶，让我们可以用 一个方向上的 单位长度的 温度变化量，即，温度梯度，来描述“传热量”，这样一个感性的概念。

什么是温度？

所谓的温度，是对外界环境冷热 程度 的一个 粗略的度量，我们借助一些会顺应这种冷热程度自己膨胀的固体或液体，数量化了外界环境。

但是这种粗略的度量，完全不够描述我们人类的皮肤感受到的“冷”或“热”。（比如，冬天的20℃和夏天的20℃是截然不同的感受）我感受到的寒流侵体，或热流侵体，是由单位时间内的换热量决定的。

而傅立叶就告诉我们，我们可以直接用温度的变化趋势，来描述身处在一个环境中的一个系统（比如，人体，是个敞开系统）所“感受”到的“冷”“热”。

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我们人可以做什么？我们想要什么？

人是比较贪心的，

给我一个系统，

尽管我只能测出，或者安排好某一个时刻的系统中每个点的温度。

我也可以对这个系统做做手脚，

比如不许它和外界交换能量（绝热），

比如让它一头不许跟外界交换能量，一头允许交换，

或者，我还可以不允许一头传热，允许一头“自由传热”。

我们管这个时刻叫初始时刻，因为我们手上有这一时刻系统内各个点的温度值，我们用数学语言将它描述成一个函数，叫φ（x）。

我们悄摸摸地给系统做的手脚，就是所谓的“边界条件”。这三种诡计，在进行数学语言描述的时候，分别被归为“第二类边界条件”，“混合边界条件”和“第三类边界条件”。

我们可以仗着自己有傅立叶撑腰，因为他为我发现了如何用温度变化量来描述传热量。借此，我们就可以推导出导热过程的微分方程（这里省略推导，材工基课本儿p139有）。这个微分方程，也就是我们所谓的“泛定方程”了。

微分方程在手，我们感到自己获得了自然界的神谕，可以开始尝试描述这三件事。

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我们现在找一根杆子玩儿，我们想对这根杆子做这三种限制。

我们开始语言描述：

用材工基的分类法，我们数理里学的是非稳态热传导

前两种手段还好说，但第三种手段，一头要“自由换热”，这怎么说呢？

有人给【自由换热】下了定义（也就是说，有人用人类惯用的语言来描述了一下这件事，方便我们用数学语言翻译出这件事）：