门信号表达式_带限信号的时域分解

频谱资源是有限的，电信运营商通常需要付出高额费用拍卖这些带宽资源。 基于此，实际中发送信号的带宽是有限的，即带限信号。尽管信号在频域是带宽有限，发射设备却工作在时域，发送的是时域信号，接收机也在时域接收和采样信号。因此有必要了解带限信号的时域特性。 下面我们分析带限信号的时域分解特性，基于该分解特性给出数字通信系统的一些传输特性。

一、背景知识

要了解带限信号在时域的特性，需要用到卷积，傅里叶变换，和反傅里叶变换的知识。所以这一部分，先对后面需要用到的知识点做下总结。

1. 定义*为卷积运算符。任意时域信号f(t)与单位冲击函数

的卷积为

2. 定义

为

傅里叶变换操作符。根据傅里叶变换性质，如果时域信号

的傅里叶变化为

则：

3. 周期为

的单位时域采样信号

的傅里叶变化为

, 其中

.

4. 定义

为

反傅里叶变换操作符, 图1-(d)所示频域门函数的反傅里叶变换为

,

其中

.

二、带限信号的时域分解

图1

基于以上背景知识，我们推导带限信号的时域表达式。某一时域信号f(t)的频谱F(w)如图1-(a)所示，其是带宽为

的带限信号。 通过将F(w)与图1-(b)所示的周期采样信号

进行卷积, 这里根据采样定理要求

，得到频谱 [

背景知识1]

(1)

其对应的频谱图如图1-(c)所示。通过引入频谱为图1-(d)所示的门函数H(w), 可得

(2)

对频域F(w)做傅里叶逆变换，得到其时域信号

(3)

其中(a)是基于公式(2)和[背景知识2]。带入[背景知识3]和[背景知识4] 的公式到(3)变成

（4）

公式(4)为带限信号的时域表达式。 因为sinc(x)函数不是时间有限（time limited）信号，(4)中带限信号在时域的整个时间轴弥散。

三、带限信号的传输

从公式(4)可知，对于时间连续的带限信号，在时域对其进行传播时，只需要在

进行采样然后发送这些离散采样信号。 接收机收到这些离散采样点之后，可以用公式(4)恢复出f(t)。 从（4）可知这些采样点数目时无穷的，在实际中不可能传输这些无穷点采样。 一种可行的方案时，可以适当的选择带限信号f(t)， 如f(t)=sinc(t), 使其为近似为时间有限信号。 如果f(t)在[-T, T]区间内有值，区间外值为0， 即

公式（4）。此时只需要在

范围内对f(t)进行采样。 这就说明，可以只知道

采样点，就可以恢复出连续信号f(t)，这是数字通信系统的基础。