中根遍历二叉查找树所得序列一定是有序序列_二叉查找树

二分法的查找过程是，在一个有序的序列中，每次都会选择有效范围中间位置的元素作判断，即每次判断后，都可以排除近一半的元素，直到查找到目标元素或返回不存在，所以

个有序元素构成的序列，查找的时间复杂度为

。既然线性结构能够做到查询复杂度为

级别，那二叉搜索树产生又有何必要呢？毕竟二叉搜索树的查询复杂度只是介于

~

之间，并不存在查询优势。

定义

二叉搜索树是一种节点值之间具有一定数量级次序的二叉树，对于树中每个节点： 若其左子树存在，则其左子树中每个节点的值都不大于该节点值； 若其右子树存在，则其右子树中每个节点的值都不小于该节点值。

示例：

示例

查询复杂度

观察二叉搜索树结构可知，查询每个节点需要的比较次数为节点深度加一。如深度为 0，节点值为 “6” 的根节点，只需要一次比较即可；深度为 1，节点值为 “3” 的节点，只需要两次比较。即二叉树节点个数确定的情况下，整颗树的高度越低，节点的查询复杂度越低。

二叉搜索树的两种极端情况：

【1】 完全二叉树，所有节点尽量填满树的每一层，上一层填满后还有剩余节点的话，则由左向右尽量填满下一层。如上图BST所示，即为一颗完全二叉树； 【2】每一层只有一个节点的二叉树。如下图SP_BST所示：

SP_BST

第【1】种情况下的查找次数分析：由上一章 二叉树 可知，完美二叉树中树的深度与节点个数的关系为：

。设深度为

的完全二叉树节点总数为

，因为完全二叉树中深度为

的叶子节点层不一定填满，所以有

，即：

，因为

为查找次数，所以完全二叉树中查找次数为：

。

第【2】种情况下，树中每层只有一个节点，该状态的树结构更倾向于一种线性结构，节点的查询类似于数组的遍历，查询复杂度为

。

所以二叉搜索树的查询复杂度为

。

构造复杂度

二叉搜索树的构造过程，也就是将节点不断插入到树中适当位置的过程。该操作过程，与查询节点元素的操作基本相同，不同之处在于： 查询节点过程是，比较元素值是否相等，相等则返回，不相等则判断大小情况，迭代查询左、右子树，直到找到相等的元素，或子节点为空，返回节点不存在 插入节点的过程是，比较元素值是否相等，相等则返回，表示已存在，不相等则判断大小情况，迭代查询左、右子树，直到找到相等的元素，或子节点为空，则将节点插入该空节点位置。

由此可知，单个节点的构造复杂度和查询复杂度相同，为

。

删除复杂度

二叉搜索树的节点删除包括两个过程，查找和删除。查询的过程和查询复杂度已知，这里说明一下删除节点的过程。

节点的删除有以下三种情况：

1. 待删除节点度为零；
2. 待删除节点度为一；
3. 待删除节点度为二。

第一种情况如下图 s_1 所示，待删除节点值为 “6”，该节点无子树，删除后并不影响二叉搜索树的结构特性，可以直接删除。即二叉搜索树中待删除节点度为零时，该节点为叶子节点，可以直接删除；

s_1

s_1_1

第二种情况如下图 s_2 所示，待删除节点值为 “7”，该节点有一个左子树，删除节点后，为了维持二叉搜索树结构特性，需要将左子树“上移”到删除的节点位置上。即二叉搜索树中待删除的节点度为一时，可以将待删除节点的左子树或右子树“上移”到删除节点位置上，以此来满足二叉搜索树的结构特性。

s_2

s_2_1

第三种情况如下图 s_3 所示，待删除节点值为 “9”，该节点既有左子树，也有右子树，删除节点后，为了维持二叉搜索树的结构特性，需要从其左子树中选出一个最大值的节点，“上移”到删除的节点位置上。即二叉搜索树中待删除节点的度为二时，可以将待删除节点的左子树中的最大值节点“移动”到删除节点位置上，以此来满足二叉搜索树的结构特性。

其实在真实的实现代码中，该情况下的实际节点删除操作是：
1.查找出左子树中的最大值节点

2.替换待删除节点

的值为

的值

3.删除

节点 因为

作为左子树的最大值节点，所以节点的度一定是 0 或 1，所以删除节点的情况就转移为以上两种情况。

s_3

s_3_1

之前提到二叉搜索树中节点的删除操作，包括查询和删除两个过程，这里称删除节点后，维持二叉搜索树结构特性的操作为“稳定结构”操作，观察以上三种情况可知：

• 前两种情况下，删除节点后，“稳定结构”操作的复杂度都是常数级别，即整个的节点删除操作复杂度为
  ；
• 第三种情况下，设删除的节点为
  ，“稳定结构”操作需要查找
  节点左子树中的最大值，也就是左子树中最“右”的叶子结点，即“稳定结构”操作其实也是一种内部的查询操作，所以整个的节点删除操作其实就是两个层次的查询操作，复杂度同为
  ；

性能分析

由以上查询复杂度、构造复杂度和删除复杂度的分析可知，三种操作的时间复杂度皆为

。下面分析线性结构的三种操作复杂度，以二分法为例：

• 查询复杂度，时间复杂度为
  ，优于二叉搜索树；
• 元素的插入操作包括两个步骤，查询和插入。查询的复杂度已知，插入后调整元素位置的复杂度为
  ，即单个元素的构造复杂度为：
• 删除操作也包括两个步骤，查询和删除，查询的复杂度已知，删除后调整元素位置的复杂度为
  ，即单个元素的删除复杂度为：

由此可知，二叉搜索树相对于线性结构，在构造复杂度和删除复杂度方面占优；在查询复杂度方面，二叉搜索树可能存在类似于斜树，每层上只有一个节点的情况，该情况下查询复杂度不占优势。

总结

二叉搜索树的节点查询、构造和删除性能，与树的高度相关，如果二叉搜索树能够更“平衡”一些，避免了树结构向线性结构的倾斜，则能够显著降低时间复杂度。二叉搜索树的存储方面，相对于线性结构只需要保存元素值，树中节点需要额外的空间保存节点之间的父子关系，所以在存储消耗上要高于线性结构。

二叉树的遍历

1、前序遍历

先访问根节点，再遍历左子树，最后遍历右子树；并且在遍历左右子树时，仍需先访问根节点，然后遍历左子树，最后遍历右子树。
例如下图中二叉树前序遍历节点访问顺序为ABDGHCEIF：

2、中序遍历

先遍历左子树、然后访问根节点，最后遍历右子树；并且在遍历左右子树的时候。仍然是先遍历左子树，然后访问根节点，最后遍历右子树。
例如前图中二叉树中序遍历节点访问顺序为GDHBAEICF：

3、后序遍历

先遍历左子树，然后遍历右子树，最后访问根节点；同样，在遍历左右子树的时候同样要先遍历左子树，然后遍历右子树，最后访问根节点。前图后序遍历结果如下。
例如前图中二叉树后序遍历节点访问顺序为GHDBIEFCA：

代码实现：

• 树节点定义

struct 

• 树定义

class 

• 模块中对树结构中的函数进行实现

private