数据结构——二叉树基础

1 前言

树是数据结构中的重中之重，尤其以各类二叉树为学习的难点。本文将详细讲述树的基本概念以及树构造和遍历，为后续深入学习做好基础。

2 概念

2.1 节点

节点：是数据结构中的基础，是构成复杂数据结构的基本组成单位。

2.2 树节点

本系列文章中提及的节点专指树的节点。例如：节点A表示为：

3 树

3.1 定义

树（Tree）是n（n>=0)个节点的有限集。n=0时称为空树。在任意一颗非空树中：
  （1）有且仅有一个特定的称为根（Root）的节点；
  （2）当n>1时，其余节点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1、T2、…、Tn，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树。
此外，树的定义还需要强调以下两点：
  （3）n>0时根节点是唯一的，不可能存在多个根节点，数据结构中的树只能有一个根节点。
  （4）m>0时，子树的个数没有限制，但它们一定是互不相交的。

例如：下图中所示的树为一棵有10个节点的一般树。

由树的定义可以看出，树的定义使用了递归的方式。递归在树的学习过程中起着重要作用。

3.2 节点的度

定义：节点拥有的子树数目称为节点的度。例如：下图中标注了3.1所示树的各个节点的度。

3.3 节点关系

节点子树的根节点为该节点的孩子节点。相应该节点称为孩子节点的双亲节点。3.2图中，A为B的双亲节点，B为A的孩子节点。
  同一个双亲节点的孩子节点之间互称兄弟节点。3.2图中，B与C互为兄弟节点，GHI互为兄弟节点，EF互为兄弟节点。

3.4 节点层次

从根节点开始，根节点为第一层，根的孩子为第二层，以此类推。例如：下图表示了3.1图所示树的层次关系

3.5 树的深度

树中节点的最大层次数称为树的深度或高度。例如：3.1图中所示树的深度为4。

4 二叉树

4.1 定义

二叉树是n(n>=0)个节点的有限集合，该集合或者为空集（称为空二叉树），或者由一个根节点和两棵互不相交的、分别称为根节点的左子树和右子树组成。
图4.1展示了一棵一般二叉树：

4.2 二叉树特点

由二叉树的定义，以及图中所示的二叉树的分析可以得出二叉树具有以下几个特点：
  （1）每个节点最多有两颗子树，所以二叉树中不存在度大于2的节点。
  （2）左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒。
  （3）即使树中某节点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树。

4.3 二叉树性质

（1）在二叉树的第i层上最多有2i-1 个节点 。（i>=1）
  （2）二叉树中如果深度为k,那么最多有2k-1个节点。(k>=1）
  （3）n0=n2+1 n0表示度数为0的节点数，n2表示度数为2的节点数。
  （4）在完全二叉树中，具有n个节点的完全二叉树的深度为[log2n]+1，其中[log2n]是向下取整。
  （5）若对含 n 个节点的完全二叉树从上到下且从左至右进行 1 至 n 的编号，则对完全二叉树中任意一个编号为 i 的节点有如下特性：
    （5）- 1，若 i=1，则该节点是二叉树的根，