【ML小结2】信息论

信息量：不确定性大小

1. 信息量等于不确定性的大小。
2. 自信息：一件不太可能的事发生，要比一件非常可能的事发生，提供更多的信息$$I(x)=-logP(x)$$
3. 信息熵：量化整个概率分布中的不确定性总量$$H(X)=E_{x\sim P}[I(x)]=-\sum _{x\in X}P(x)logP(x)$$

信息的作用：消除不确定性

1. 信息的作用在于消除不确定性。NLP的大量问题就是寻找相关的信息。
2. "相关"的信息（如上下文）能够消除不确定性$$H(X)\ge H(X|Y)$$当获取的信息与所研究的事物毫无关系时等号成立。

互信息：衡量两个随机事件的相关性

1. 定义：衡量两个随机事件的相关性$$I(X;Y)=\sum _{x\in X,y\in Y}P(x,y)log\frac{P(x,y)}{P(x)P(y)}$$
2. 应用
   解决翻译中二义性问题，如bush既是美国总统布什的名字，也表灌木丛。首先从大量文本中找出和布什一起出现的互信息最大的一些词，像总统、美国、国会，同样找出和灌木丛一起出现的互信息最大的词，像土壤、植物等。然后在翻译bush时看看上下文中哪一类相关的词多就可以了。

相对熵与交叉熵

相对熵/KL散度：衡量两个取值为正的函数的相似性

1. 定义：P对Q的KL散度$$D_P(Q)=E_{x\sim P}[log\frac{P(x)}{Q(x)}]=\sum _{x\in X}P(x)log\frac{P(x)}{Q(x)}$$KL 散度越小,真实分布与近似分布之间的匹配就越好。
2. 性质：
   （1） 非负性：KL 散度为 0 当且仅当P 和 Q 在离散型变量的情况下是相同的分布，或者在连续型变量的情况下是“几乎处处”相同的
   （2）不对称性：$D_P(Q)!=D_Q(P)$
3. 应用：衡量两个常用词（在语法和语义上）在两个不同文本中的概率分布，看是否同义；计算词频率-逆向文档频率（TF-IDF）

交叉熵：衡量两个概率分布间的差异性信息

1. 定义：用一个猜测的分布的编码方式去编码其真实的分布,得到的平均编码长度或者信息量 $$H_P(Q)=-E_{X\sim P}logQ(x)=-\sum _{x\in X}P(x)logQ(x)$$上式即为用猜的的p分布,去编码原本真是为q的分布,得到的信息量
2. 应用：交叉熵在机器学习领域中经常作为最后的损失函数，只有当猜测的分布约接近于真实分布，则交叉熵越小。 比如根据自己模型得到的A的概率是80%，得到B的概率是20%，真实的分布是应该得到A，则意味着得到A的概率是100%，所以 $$L=-\sum _i{y}_{i}log(P(x_i))+(1-y_i)log(1-P(x_i))$$

相对熵与交叉熵的关系

针对 Q 最小化交叉熵等价于最小化 P 对 Q 的 KL 散度，因为 Q 并不参与被省略的$H(P)$项。
$$H_P(Q)=H(P)+D_P(Q)$$