一元方程求根

已知$f(x)=0$，求x.

1.二分法求根

要求：$f(x)$连续，且在[a,b]上有根
优点：简单可靠
缺点：不能求复根和偶重根
解决：选用一个合适的步长h对[a,b]进行扫描搜索，当发现哪个子区间有根时再用二分法求其中之根。

2.牛顿迭代法

优点：具有平方收敛的速度
缺点：

• 重根情形下为局部线性收敛
• 计算量大（除了要计算函数值还要计算导数值）
• 选取的初始值要靠近精确解（解决：先用二分法求出足够精度的$x_0$再用牛顿法迭代到收敛为止）
  

补充知识

1、泰勒公式

将一个在$x=x_0$处具有n阶导数的函数$f(x)$利用关于$(x-x_0)$的n次多项式来逼近函数的方法。
$$f(x)=\sum _{i=0}^n\frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0{)}^i+R_n(x)$$
其中$f^{(i)}(x)$代表$x$的$i$阶导数，剩余的$R_n(x)$是泰勒公式的余项，是$(x-x_0{)}^n$的高阶无穷小。

2、牛顿法对方程重根的处理

• 已知重根的重数m（m>1），利用m构造新的迭代公式
  $$x_{k+1}=x_k-m\frac{f(x_k)}{f^{{}^{\prime }}(x_k)}(k=0,1,...)$$
• 未知重根的重数，新迭代公式是
  $$x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)f^{{}^{\prime }}(x_k)}{[f^{{}^{\prime }}(x_k){]}^2-f(x_k)f^{{}^{\prime \prime }}(x_k)}(k=0,1,...)$$
  缺点：需要求$f$的2阶导数，计算量大，应用前提是$f(x)$要简单。