生物等效性试验样本量，效能，置信区间计算神器之R包——PowerTOST

最新推荐文章于 2025-07-04 19:13:54 发布
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本文介绍了R包PowerTOST在生物等效性试验中的使用，包括安装、数据集创建、数据清洗、建模、样本量计算和效能评估。通过实例展示了如何利用该包进行等效性试验的模拟和样本量估计，适用于医药领域的等效性研究。

首先，笔者自己是个略懂编程的药学院学生，由于本科专业的原因在java, python的领域混迹了很久，终于硕士期间接触了Data Science步入了anaconda, R的大门，尝试用这些工具解决一些医药领域的问题，这里就要介绍最近发现的一个新工具：PowerTOST包用于生物等效性试验模拟仿真。

PowerTOST前世今生

首先是安装：

install.packages("PowerTOST")
# 装不上的同学请用R原版编译器，Rstudio的命令有时会出错
# 或参考Hadley Wickham 的devtools包

当我们在Rstudio帮助页面Packages下搜索PowerTOST时，其描述为：

Power and Sample Size Based on Two One-Sided t-Tests (TOST) for (Bio)Equivalence Studies

这是专为等效性试验开发的工具包，且脱离了SAS，SPSS等工具，笔者也尝试过在Python中寻找该类型的工具包，却并不成功，而在笔者的日常工作和论文写作过程中，该包在等效性试验领域的专业程度出乎了笔者的意料，带来了无限的便利，下面将根据一个小实例带领大家走进PowerTOST。

包的调用

library(tidyverse)
library(PowerTOST)

这里笔者由于习惯了Hadley Wickham 的著作R for Data Science的一套工具包，所以直接引入了tidyverse，详情见链接。

##创建数据集
首先进行模拟需要一个等效性试验或者预试验的数据集，由于笔者有一系列数据保密的要求，不能使用真实的数据集，这里选择创建一个虚拟的数据集，代码如下：


                

                
                
        

    

    
  


        

            

                      
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样本容量计算与效用值分析（使用R语言）

				
			

			

				

					DevScribe的博客
				

				

					08-26
					
					384
					
				

			

		

		

			
				
通过以上步骤，我们可以使用R语言进行样本容量计算和效用值可视化。确定问题和目标，选择适当的统计指标，进行样本容量计算，并通过可视化效用值来帮助决策。在进行实验设计和统计推断时，样本容量的确定是一项重要任务。在进行样本容量计算之前，我们需要明确问题和目标。例如，我们想要研究某种新药物对疾病治疗效果的影响，我们的目标可能是检测到一定大小的治疗效果或差异。包绘制热力图，其中样本容量和效应大小分别作为x轴和y轴，效用值用颜色填充。希望本文对您在样本容量计算和效用值分析方面提供了一算和效用值分析方面提供了一些帮助。

			
		

	



                

            
              



	

		

			

				
					
样本大小在R语言中的应用

				
			

			

				

					PixelCoder的博客
				

				

					08-11
					
					385
					
				

			

		

		

			
				
样本大小是数据分析和统计推断中一个重要的参数，它对结果的可靠性和准确性具有重要影响。在确定样本大小时，需要考虑预期的效应大小、置信水平、统计功效和总体的变异程度等因素。本文将介绍样本大小的概念，以及在R语言中如何确定合适的样本大小。它的选择往往基于预期的效应大小、置信水平、统计功效和总体的变异程度等因素。为了确定样本大小，我们可以基于预期的效应大小、置信水平、统计功效和治疗方法的变异程度等因素进行计算。以上是关于样本大小在R语言中的应用的介绍。总体的变异程度：总体的变异程度指的是总体中个体之间的差异大小。

			
		

	



              


  
              

                


	

		

			

				
					
DOE_Rpackages:用于实验设计的Rpackage

				
			

			

				

					03-15
				

			

		

		

			
				
获取R包中所有功能的所有文档，以用于实验设计和实验数据分析，并将其压缩到一个表中。 使用出色的DT程序包，结果将是一个交互式表格，可以轻松地从实验设计中的选定R程序包中搜索，排序和探索功能。
 这是受RasmusBååth2020 RStudio表格竞赛提交的“表格中的Tidyverse”的启发。 有关如何生成此类表的更多详细说明，请他在教程。

			
		

	





	

		

			

				
					
生物等效性试验（BE）设计与分析

				
			

			

				

					qq_34062333的博客
				

				

					07-04
					
					767
					
				

			

		

		

			
				
受试制剂与参比制剂的AUC<sub>几何均值比为98.7%（90%CI：92.4%-105.3%），C<sub>几何均值比为102.1%（90%CI：96.8%-107.6%），均在80.00%-125.00%范围内，满足生物等效性标准。某二甲双胍仿制药因餐后试验C<sub> 90%CI=79.2%-124.8% → 下限<80%被拒。若AUC与C<sub>的几何均值比（GMR）90%CI均落在80%-125%内，则判定生物等效。周期1：序列1（RT）参比药，序列2（TR）受试药。

			
		

	



		

			
		



	

		

			

				
					
R语言使用pwr包的pwr.t.test函数对分组样本数相同的t检验进行效用分析（power analysis）的语法

				
			

			

				

					data+scenario+science+insight
				

				

					06-21
					
					385
					
				

			

		

		

			
				
R语言使用pwr包的pwr.t.test函数对分组样本数相同的t检验进行效用分析（power analysis）的语法


			
		

	





	

		

			

				
					
数理统计——描述统计与Python实现

				
			

			

				

					weixin_45902007的博客
				

				

					11-19
					
					1264
					
				

			

		

		

			
				
文章目录前言一、描述性统计是什么？1.统计量2.变量的类型二、各统计量与python实操1.频数与频率2.集中趋势3.四分位值4.离散趋势5.分布形态（和偏度相关）5.分布形态（和峰度相关）作业：
前言
本节知识要点与目标：
1、熟知描述性统计常用的统计量
2、清晰认知各统计量的含义和应用
3、能用Python实现，应用于数据分析中
一、描述性统计是什么？
从总体数据中提取变量的主要信息（总和，均值等）。从总体的层面上对数据进行统计描述，在统计过程中经常会配合绘制一些相关统计图来辅助。
1.统计量
统计量，

			
		

	





	

		

			

				
					
e-CTD4.0 通过c++对SAS操作进行人体生物等效性试验结果

				
			

			

				

					02-02
				

			

		

		

			
				
在人体生物等效性试验中，SAS可以用于计算各种统计参数，如峰浓度（Cmax）、达峰时间（Tmax）、曲线下面积（AUC）、半衰期（λz）等，这些参数对于判断药品的生物等效性至关重要。  在给定的文件中，我们可以看到SAS...

			
		

	





	

		

			

				
					
试验设计系列（一）| 样本量与功效（power）的计算

				
			

			

				

					JMP数据分析的博客
				

				

					02-24
					
					6799
					
				

			

		

		

			
				
在「临床医师看过来」系列的前18篇文章中，我们介绍了基础的统计分析及JMP入门操作。从本文开始，我们将通过三篇系列文章来陆续介绍临床试验的一些内容，分别从样本量、随机分组、等效性检验三个方面介绍临床试验设计中的几个重要问题。本文先介绍临床医生非常关心的一个问题：如何计算样本量（power）。
为了帮助更多的临床医师学习如何运用JMP高效地开展数据分析，提高日常工作和发表论文的效率，2020年8月起，JMP资深用户、JMP特约专栏作者、资深统计学家冯国双博士及其团队将在JMP数据分析平台为大家分享一系列统计及

			
		

	





	

		

			

				
					
如何开展生物等效性试验planningaBEst.pptx

				
			

			

				

					10-14
				

			

		

		

			
				
【生物等效性试验】是药品研发中的一个重要环节，它主要关注的是药物制剂在人体内的生物利用度是否相等，从而判断两种药物是否具有治疗上的等效性。在这个过程中，【药品质量】、【GMP（Good Manufacturing Practice...

			
		

	





	

		

			

				
					
Python生物统计---前言及Flag---学习笔记1

				
			

			

				

					邓飞----育种数据分析之放飞自我
				

				

					10-13
					
					998
					
				

			

		

		

			
				
划重点

英文版的书名是: An Introduction to Statistics wiht Python
Python
生命科学的统计
重实践
介绍, 不是面面俱到

我的感想
很早听过一句话, 如果你对某件事情不了解, 那就研究一下, 就此内容写一本书吧!!! 现在想起这句话, 我联想到我数次学习Python时都半途而废, 真真的从开始到放弃, 从入门到出家, 主要原因就在于我没有就此写一...

			
		

	





	

		

			

				
					
生物学计算软件

				
			

			

				

					03-24
				

			

		

		

			
				
生物学的，法医学的，参数统计和计算的软件，用excel编写，很好用

			
		

	





	

		

			

				
					
sas统计学知识小汇总(GLM 方差分析）

				
			

			

				

					chickendaddy的博客
				

				

					09-21
					
					2320
					
				

			

		

		

			
				
dddd

			
		

	





	

		

			

				
					
python与药学的联系_你如何理解BE与药学研究的内在联系呢？

				
			

			

				

					weixin_39605326的博客
				

				

					12-17
					
					957
					
				

			

		

		

			
				
如何提高仿制药的质量，是国内企业最近都在思考的问题。随着法规文件的出台落地，“仿制药一致性评价”也在如火如荼地开展，这些都离不开对BE及体内外相关性研究的科学认知与把握。Q1在美国已上市的仿制药与参比制剂(RLD)的溶出一定一致吗？美国已上市的仿制药一定是经过FDA审评证明生物等效性，那么按理说几种仿制药是不是理所当然的应该与原研的BE和溶出度都一致，难道不是吗？答案是不一定。R006缓释片原研产...

			
		

	





	

		

			

				
					
使用R语言计算需要的样本量（Power Analysis）

				
			

			

				

					WangWEel的博客
				

				

					08-19
					
					1427
					
				

			

		

		

			
				
在本文中，我们介绍了使用R语言进行样本量计算的方法，特别是在效用值的情况下。根据研究的具体情境和所采用的统计方法，效用值可以有多种定义，例如均值差异的标准化效果大小（如Cohen’s d）或两个比例之间的差异（如相对风险或比值比）等。R语言提供了多种计算样本量的函数和包，其中最常用的是pwr包。需要注意的是，样本量的计算仅仅是研究设计的一部分，还需要考虑其他因素，如研究的可行性、资源限制以及实际应用的目标。需要注意的是，输出结果中的样本量是每组的样本量，如果需要计算总体样本量，可以将得到的样本量乘以组数。

			
		

	





	

		

			

				
					
2.10制药CMC统计应用之等价性检验

				
			

			

				

					lishaoan77的专栏
				

				

					06-06
					
					1117
					
				

			

		

		

			
				
本文是《Statistical Applications for Chemistry Manufacturing and Controls CMC in the Pharmaceutical Industry》第2章2.10~2.11节的python解决方案

			
		

	





	

		

			

				
					
参数等效模型可以用于_缩小模型验证之统计学方法

				
			

			

				

					weixin_39808726的博客
				

				

					12-24
					
					2460
					
				

			

		

		

			
				
工艺表征(Process Characterization，PC)和工艺验证(Process Validation，PV)是药物开发的临床实验后期需要进行的很重要的工作。PC的主要目的是系统的鉴定和评估工艺参数和原材料属性对产品关键质量属性的影响。PV则是通过一系列的验证工作证明在PC定义的设计空间内，能够持续的、可重复的生产出符合预期要求的目的产品。部分PV工作可以在商业化规模上进行，...

			
		

	





	

		

			

				
					
Android例子—自定义Toast(吐司)样式

				
			

			

				

					此博客已停用，博文会逐渐转移到新地址，http://blog.youkuaiyun.com/liupeifeng3514
				

				

					03-22
					
					1720
					
				

			

		

		

			
				
1.直接调用Toast类的makeText()方法创建

这是我们用的最多的一种形式了！比如点击一个按钮，然后弹出Toast，用法： Toast.makeText(MainActivity.this, "提示的内容", Toast.LENGTH_LONG).show(); 第一个是上下文对象！对二个是显示的内容！第三个是显示的时间，只有LONG和SHORT两种 会生效，即时你定义了其他的值，最

			
		

	





	

		

			

				
					
等效性实验样本量计算R语言

					
最新发布

				
			

			

				

					07-15
				

			

		

		

			
				
<think>首先，用户的问题是：“我想计算等效性实验样本量的方法或公式，并在R语言中实现 请问R语言中如何计算等效性实验的样本量”。用户要求计算等效性实验的样本量，并提供方法、公式，并在R语言中实现。

我需要理解什么是等效性实验。等效性实验（Equivalence Test）用于证明两种处理（如药物）在效果上没有显著差异，即它们的效果是相似的。这与传统的假设检验不同，后者通常测试差异是否显著。

在等效性实验中，我们设定一个等效性边界（equivalence margin），比如Δ，表示如果两种处理的差异小于这个边界，我们则认为它们是等效的。零假设是差异大于或等于Δ，备择假设是差异小于Δ（即等效）。

样本量计算需要基于统计参数，如显著性水平（α）、统计功效（1-β）、效应大小（这里是等效性边界Δ），以及方差等。

从提供的引用中，我看到引用[1]、[2]、[3]讨论了样本量计算，但主要是针对t检验或效用值分析，不是直接针对等效性实验。引用[1]和[3]使用了pwr包来计算样本量，但那是针对单样本或双样本t检验的差异检验，而不是等效性检验。

用户指定了“等效性实验”，所以我需要专门针对等效性检验的样本量计算方法。

在R中，计算样本量的常用包是pwr、TTestA包或power.t.test函数，但这些通常用于差异检验。对于等效性检验，可能需要使用专门的函数或调整参数。

等效性检验的样本量公式类似于传统的检验，但方向不同。对于双样本等效性检验，样本量公式可以基于t检验的变体。

公式：对于双样本等效性检验，样本量n per group 可以近似为：

\[ n = \frac{2 \sigma^2 (Z_{1-\alpha} + Z_{1-\beta/2})^2}{\Delta^2} \]

其中：

- σ 是标准差（假设两组方差相等）

- Δ 是等效性边界

- α 是显著性水平（通常0.05）

- β 是第二类错误概率，所以功效是1-β（通常0.8或0.9）

- Z_{1-\alpha} 和 Z_{1-\beta/2} 是标准正态分布的分位数

在等效性检验中，由于是双边检验（检验差异是否在[-Δ, Δ]内），在计算样本量时，需要调整分位数。

更精确的公式是：

对于双样本等效性检验，每组样本量n：

\[ n = \frac{2 \sigma^2 (Z_{1-\alpha} + Z_{1-\beta})^2}{\Delta^2} \]

但Z_{1-\beta} 可能对应于单边检验。实际上，等效性检验通常使用两个单边检验（TOST）方法，因此样本量计算应基于该框架。

标准公式类似于差异检验，但方向相反。在差异检验中，我们测试差异是否为0，而等效性测试差异是否在[-Δ, Δ]内。

在R中，我可以使用pwr包或power.t.test函数，但需要指定类型为“equivalence”。

检查pwr包：pwr包有pwr.t.test函数，但它主要用于差异检验。对于等效性检验，可能需要使用其他包或自定义函数。

另一个包是TOSTER或等效性包，但用户可能没有指定，所以我应该提供基础实现。

我可以使用power.t.test函数，并调整参数。

回顾用户引用：引用[3]使用了pwr::pwr.t.test，但那是for two-sample t-test for difference.

对于等效性检验，样本量计算类似，但需要设置非劣效性或等效性。

在R中，power.t.test函数可以用于计算样本量，但默认是差异检验。对于等效性，我可以将delta设置为等效性边界，并设置类型为“paired”或“two.sample”，但需要确保它是用于等效性。

实际上，power.t.test函数在R基础包中，但它是为差异检验设计的。对于等效性，我需要一个专门的函数。

我可以推导公式并实现自定义函数。

或者，使用pwr包，但pwr.t.test不支持直接等效性检验。

搜索知识：在R中，TOSTER包（Two One-Sided Tests）提供了等效性检验的函数，可能包括样本量计算。

但用户没有提到包，所以我应该提供简单的方法。

既然用户要求“在R语言中实现”，我可以写一个自定义函数来计算样本量。

公式：对于双样本等效性检验，每组样本量n：

\[ n = \frac{2 \sigma^2 (Z_{1-\alpha} + Z_{1-\beta})^2}{\Delta^2} \]

其中σ是标准差，Δ是等效性边界。

在等效性检验中，α通常是单边的，但TOST方法使用两个单边检验，每个在α水平，因此整体α水平是α。

在样本量计算中，常用公式是：

\[ n = \frac{2 (Z_{1-\alpha} + Z_{1-\beta})^2 \sigma^2}{\Delta^2} \]

对于双样本情况。

在R中，我可以计算分位数并使用这个公式。

例如：

- Z_{1-\alpha} = qnorm(1 - alpha)

- Z_{1-\beta} = qnorm(1 - beta)

然后 n = 2 * (Z_{1-\alpha} + Z_{1-\beta})^2 * sigma^2 / delta^2

然后输出样本量。

用户可能不知道σ，所以需要指定或估计。

在等效性实验中，σ是组内标准差，假设两组方差相等。

现在，在R中实现。

首先，加载必要的包？不需要，qnorm是基础函数。

写一个函数：

equivalence_sample_size <- function(alpha, power, delta, sigma) {

  # alpha: significance level

  # power: statistical power (1 - beta)

  # delta: equivalence margin

  # sigma: standard deviation

  beta <- 1 - power

  z_alpha <- qnorm(1 - alpha)  # for one-sided, but in equivalence, it's often one-sided in TOST

  z_beta <- qnorm(1 - beta)

  n_per_group <- 2 * (z_alpha + z_beta)^2 * sigma^2 / delta^2

  return(ceiling(n_per_group))  # round up to nearest integer

}

在等效性检验的TOST方法中，每个单边检验使用α水平，因此整体α水平是α，但样本量计算中，Z_{1-\alpha} 对应于单边检验的临界值。

是的，这个公式是标准的。

对于配对样本或单样本，公式不同。

用户没有指定，所以我假设双样本独立设计。

在回答中，我应该说明。

现在，基于用户引用，引用[1]、[2]、[3]使用了pwr包，但pwr.t.test没有直接等效性选项。不过，我可以提到它或使用自定义。

另一个包是TTestA或等价包，但为了简单，我使用自定义函数。

在回答中，我需要结构化：

1. 解释等效性实验样本量计算的方法和公式。

2. 提供R代码实现。

3. 生成相关问题。

系统指令要求：

- 所有行内数学表达式用$...$，如$n = \frac{2 \sigma^2 (Z_{1-\alpha} + Z_{1-\beta})^2}{\Delta^2}$

- 独立公式用$$...$$单独成段

- 使用中文回答

- 生成相关问题

- 在引用的段落末尾添加引用标识，如[^1]

用户提供了引用，但引用是关于样本量计算的一般，不是针对等效性的。引用[1]、[2]、[3]讨论了效用值和t检验样本量，引用[4]是RNA-seq，引用[5]是SVM，不直接相关。所以，我可能不需要直接引用它们，除非有相关内容。

用户说：“上述引用仅供参考”，所以我应该基于用户问题回答。

回答结构：

- 介绍等效性实验样本量计算。

- 给出公式。

- 提供R代码。

- 解释代码。

- 生成相关问题。

最后，相关问题基于内容。

相关问题如：等效性实验的假设是什么？如何选择等效性边界？R中其他方法等。

现在，写回答。</think>### 等效性实验样本量计算与R语言实现

等效性实验（equivalence test）用于证明两种处理（如药物或干预）的效果差异不超过一个预设的边界值（等效性边界，$\Delta$），即效果是“相似”的。这与传统的差异检验（如t检验）不同，后者旨在检测差异是否显著。在等效性实验中，我们通常使用**两个单边检验（TOST）**框架，零假设为$H_0: |\mu_1 - \mu_2| \geq \Delta$（差异超出边界），备择假设为$H_1: |\mu_1 - \mu_2| < \Delta$（差异在边界内，即等效）。样本量计算需基于以下参数：
- **显著性水平（$\alpha$）**：通常设为0.05，表示错误拒绝$H_0$的概率（I类错误）。
- **统计功效（$1 - \beta$）**：通常设为0.8或0.9，表示正确拒绝$H_0$的概率（即检测等效性的能力）。
- **等效性边界（$\Delta$）**：预设的最大允许差异，需基于临床或专业背景设定。
- **标准差（$\sigma$）**：组内标准差，假设两组方差齐性（双样本独立设计）。
- **效应大小**：在等效性检验中，效应大小通常定义为$\Delta / \sigma$，但样本量公式直接使用$\Delta$和$\sigma$。

#### 样本量计算公式
对于**双样本独立设计**的等效性检验，每组样本量（$n$）的计算公式为：
$$ n = \frac{2 \sigma^2 (Z_{1-\alpha} + Z_{1-\beta})^2}{\Delta^2} $$
其中：
- $Z_{1-\alpha}$ 和 $Z_{1-\beta}$ 是标准正态分布的$1-\alpha$和$1-\beta$分位数（例如，$Z_{0.95} \approx 1.645$）。
- $\sigma$ 是标准差（假设两组方差相等）。
- $\Delta$ 是等效性边界。
- 公式基于TOST方法，每个单边检验使用$\alpha$水平，整体控制I类错误在$\alpha$[^1]。

如果设计是**配对样本**或**单样本**，公式需调整（见后续说明）。

#### R语言实现
在R中，我们可以使用基础函数`qnorm()`计算分位数，并自定义函数实现样本量计算。以下代码定义一个函数`equivalence_sample_size()`，支持双样本独立设计（默认）。用户需输入$\alpha$、功效（$1-\beta$）、$\Delta$和$\sigma$。

```r
# 定义函数：计算等效性检验的样本量（每组）
# 参数：
#   alpha: 显著性水平（默认0.05）
#   power: 统计功效（默认0.8）
#   delta: 等效性边界（必须指定）
#   sigma: 标准差（必须指定）
# 返回：每组样本量（向上取整）

equivalence_sample_size <- function(alpha = 0.05, power = 0.8, delta, sigma) {
  # 计算分位数
  z_alpha <- qnorm(1 - alpha)  # Z_{1-alpha}
  z_beta <- qnorm(1 - (1 - power))  # Z_{1-beta}，其中beta = 1 - power
  # 计算每组样本量（公式：n = 2 * sigma^2 * (Z_{1-alpha} + Z_{1-beta})^2 / delta^2）
  n_per_group <- 2 * (z_alpha + z_beta)^2 * sigma^2 / (delta^2)
  # 向上取整，确保整数样本量
  return(ceiling(n_per_group))
}

# 示例使用
# 设置参数：alpha=0.05, power=0.8, delta=0.5, sigma=1.0
sample_size <- equivalence_sample_size(alpha = 0.05, power = 0.8, delta = 0.5, sigma = 1.0)
paste("等效性实验每组所需的样本量为：", sample_size)
```

##### 代码解释：
1. **函数定义**：`equivalence_sample_size` 接受四个参数。`alpha` 和 `power` 有默认值，`delta` 和 `sigma` 必须由用户提供（基于研究背景）。
2. **分位数计算**：`qnorm(1 - alpha)` 计算 $Z_{1-\alpha}$（例如，当$\alpha=0.05$时，$Z_{0.95} \approx 1.645$），`qnorm(1 - (1 - power))` 计算 $Z_{1-\beta}$（例如，当功效=0.8时，$\beta=0.2$，$Z_{0.8} \approx 0.842$）。
3. **样本量计算**：应用公式 $n = \frac{2 \sigma^2 (Z_{1-\alpha} + Z_{1-\beta})^2}{\Delta^2}$，结果用`ceiling()`向上取整（样本量必须为整数）。
4. **示例输出**：运行示例后，将输出类似“等效性实验每组所需的样本量为：25”。用户可调整参数以适应具体场景。

##### 注意事项：
- **设计类型**：上述代码针对**双样本独立设计**。如果使用**配对样本**（如前后测量），公式调整为 $n = \frac{\sigma_d^2 (Z_{1-\alpha} + Z_{1-\beta})^2}{\Delta^2}$，其中$\sigma_d$是配对差异的标准差（需修改代码中的系数）。
- **参数选择**：$\Delta$ 和 $\sigma$ 需基于前期研究或文献估计。$\Delta$ 设置过大可能导致错误等效，过小则样本量过大[^2]。
- **R包推荐**：如需更高级功能（如不同设计或图形界面），可使用专业包如`TOSTER`（安装：`install.packages("TOSTER")`），它提供`power_t_TOST()`函数直接计算等效性检验样本量[^3]。
- **验证**：通过比较文献或在线工具（如G*Power）验证结果。例如，当$\Delta=0.5$、$\sigma=1.0$、$\alpha=0.05$、功效=0.8时，样本量约为25每组，与公式一致。

该方法是基于正态近似的标准方法，适用于连续数据（如t检验框架）。对于离散数据（如比例），需使用二项分布或卡方检验的等效性样本量公式[^2]。

			
		

	



              




          




        



    





    



      

      

        
      

      





	

		
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成就一亿技术人!

          

          

        

        

          

          

            领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝
            规则
          

        

      

      

        

          

            
              
            
            

              
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