十分钟搞懂主成分分析PCA

最新推荐文章于 2025-03-24 16:40:40 发布
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分类专栏： 数学基础 文章标签： PCA SVD 协方差矩阵
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PCA（主成分分析）是一种数据降维技术，通过找到数据的新坐标系，减少特征间的关联，保留主要信息。它与协方差矩阵和SVD（奇异值分解）紧密相关。PCA步骤包括数据零均值化、计算协方差矩阵、特征值分解，选择特征值较大的主成分。SVD可以直接用于PCA，提供更高效计算方式。

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几个疑问

  • PCA是干什么的？

首先有一组数据蓝色点，PCA所谓的降维操作就是找到一个新的坐标系（旋转的两条直线式垂直的，我们可以用一组标准正交基来指示），然后减掉其中一些维度，使误差足够小。
在这里插入图片描述

  • PCA与协方差矩阵的关系
  • PCA与SVD的关系

基本思路

假设我们有一个数据 X n ∗ m X_{n*m} Xn∗m​，其中n代表了特征的个数，m代表了样本数。首先对 X X X的特征进行零均值化。
协方差矩阵 C n ∗ n = X X T C_{n*n} = XX^T Cn∗n​=XXT（这里应该除以m，不妨碍推导），C的对角线代表了特征自身的方差，而其他位置比如 C i , j C_{i,j} Ci,j​代表了特征 i i

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