多元函数微分学（一）

1.1 基本概念

1.1.1 区域

1. 邻域：
   $$\begin{gathered} 设P_0(x_0,y_0)\in R^2，\delta 为某一正数，与点P_0(x_0,y_0)的距离小于\delta 的点P(x,y)的全体，称为点 \\ {P}_0(x_0,y_0)的\delta 领域，记作U(P_0,\delta )。不含P_0的邻域，在几何上为去心\delta 邻域。 \end{gathered}$$
2. 区域：
   $$\begin{gathered} 对于任意一点P\in R^2与任意一个点集E\in R^2： \\ 若存在点P的邻域U(P)\subset E，则称P为E的内点； \\ 若存在点P的领域U(P)\cap E=Ø，则称P为E的外点； \\ 若点P的任一领域U(P)内既含属于E的点，又含有不属于E的点，则称P为E的边界点。 \\ 如果对于任意给定的\delta >0，点P的去心领域内总有E中的点，则称P是E的聚点。 \\ 如果点集E的点都是E的内点，则称E为开集。如果点集E的余集为开集，则称E为闭集。 \\ 如果点集E内任何两点，都可以用折线连接起来，且该折线上的点都属于E，则称E为连通集。 \\ 对于平面点集E，如果存在某一正数r，使得E\subset U(O,r)，O为坐标原点，则称E为有界集，否则为无界集。 \\ 连通的开集为开区域，开区域连同它的边界成为闭区域。 \end{gathered}$$

1.1.2 多元函数的概念

多元函数定义：

$设D是Rn的一个非空子集，从D到实数集R的一个映射f成为定义在D上的一个n元实值函数，记作f:D\subset R^n\to R，或y=f(x)=f(x_1,x_2,...,x_n)，x\in D，其中x_1,x_2,...,x_n称为自变量，y称为因变量，D称为函数f的定义域，f(D)称为函数f的值域，并且称R^{n+1}中的子集(x_1,x_2,...,x_n,y)为函数f(x)在D上的图像$

一元函数的单调性，奇偶性，周期性的定义在多元函数不再适用，但有界性的定义仍适用。

偏导数：将其他自变量看成固定的，对要求导的自变量进行求导

二阶及二阶以上的偏导数为高阶偏导数

1.1.3 全微分定义

$设函数z=f(x,y)，在点(x,y)的某领域内有定义，如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)可以表示为\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho )，其中A，B不依赖于\Delta x，\Delta y，仅与x，y有关，\rho =\sqrt{\Delta x^2+(\Delta y{)}^2}，则称函数z在点(x,y)可微，A\Delta x+B\Delta y称为函数z在点(x,y)处的全微分。$

一阶全微分不变性

补充：

拉普拉斯方程：

Laplace：

$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}=0$