《数据结构、算法与应用 —— C++语言描述》学习笔记 — 优先级队列 — 左高树

一、左高树

前面所学习的堆结构是一种隐式数据结构。用完全二叉树表示的堆在数组中式隐式存储的（即没有明确的指针或其他数据能够用来重塑这种结构）。由于没有存储结构信息，这种表示方法的空间利用率很高，它实际上没有浪费空间。而且它的时间效率也很高。尽管如此，它并不适合于所有优先级队列的应用，尤其是当两个优先级队列或多个长度不同的队列需要合并时，这时我们就需要其他数据结构了，比如左高树。

1、外部节点

考察一棵二叉树，它有一类特殊的节点叫做外部节点，它代替树中的空子树。其余节点叫做内部节点。增加了外部节点的二叉树被称为扩充二叉树。如图所示，灰色方框节点表示外部节点：

2、高度优先左高树

令 s(x) 表示从节点 x 到其子树的外部节点的所有路径中最短的一条。根据 s(x) 的定义，若 x 是外部节点，则 s 的值为0；若 x 为内部节点，则 s 的值为： m i n { s ( L ) , s ( R ) } + 1 min\{s(L),s(R)\}+1 min{ s(L),s(R)}+1
其中，L 与 R 分别为 x 的左右孩子。扩充二叉树中各节点的 s 值如图所示：

（1）定义

一棵二叉树被称为高度优先左高树（HBLT），当且仅当任何一个内部节点的左孩子的 s 值都大于或等于右孩子的 s 值。

上图所示的二叉树不是HBLT。考察外部节点 a 的父节点，它的左孩子的 s 值为0，而右孩子的值为1，尽管其他内部节点均满足HBLT的定义。若将节点 a 的父节点的左右子树交换，则该树成为HBLT。

（2）特性

令 x 为HBLT的一个内部节点，则：
① 以x 为根的子树的节点数目至少为 $2^{s(x)}-1$
② 若以 x 为根的子树有 m 个节点，那么 s(x) 最多为 ${\log }_2(m+1)$
③ 从 x 到一外部节点的最右路径的长度为 s(x)。

（3）HBLT 与 大小根树

若一棵 HBLT 同时还是大根树，则称为 最大HBLT。若一棵 HBLT 同时还是小根树，则称为 最小HBLT。
最大优先级队列可以用最大HBLT表示，最小优先级队列可以用最小HBLT表示。

3、重量优先左高树

如果我们考虑的不是路径长度，而是节点数目，那么我们可以得到另一种左高树。定义重量 w(x) 是以节点 x 为根的子树的内部节点数目。若 x 是外部节点，则它的重量为0；若 x 是内部节点，则它的重量是其孩子节点的重量之和加1。扩充二叉树中的各节点重量如图：

一棵二叉树被称为重量优先左高树（WBLT），当且仅当其任何一个内部节点的左孩子的 w 值都大于或等于右孩子的 w 值。若一棵若一棵 WBLT 同时还是大根树，则称为 最大WBLT。若一棵 WBLT 同时还是小根树，则称为 最小WBLT。

同 HBLT 类似，具有 m 个节点的 WBLT 的最右路径长度最多为 ${\log }_2(m+1)$。使用 WBLT 或 HBLT，可移植性优先级队列的查找、插入、删除操作，其时间复杂性与堆相同。和堆一样，WBLT 与 HBLT 可以在线性时间内完成初始化。用 WBLT 或 HBLT 表示的两个优先级队列可以在对数时间内合并为一个，而用堆表示的优先级队列做不到这一点。

下面我们以 HBLT 为例介绍相关操作的实现，WBLT 与之类似。

4、最大HBLT的插入

最大HBLT的插入操作可以利用最大HBLT的合并操作来实现。假定将元素 x 插入名为 H 的最大HBLT中。如果构建一棵仅有一个元素 x 的最大 HBLT ，然后将它与 H 进行合并，那么合并后的最大HBLT将包含 H 的全部元素和元素 x。因此，要插入一个元素，可以先建立一棵新的只包含这个元素的HBLT，然后将这棵新的HBLT与原来的HBLT合并。

5、最大HBLT的删除

最大元素在根中。若根被删除，则分别以左右孩子为根的子树是两棵最大HBLT。将这两棵最大HBLT合并，便是删除后的结果。因此，删除操作可以通过删除根元素之后的两棵子树的合并来实现。

6、两棵最大HBLT的合并

具有 n 个元素的HBLT，其最右路径的长度为 $O(logn)$，一个算法要合并两棵HBLT，只能在遍历其最右路径中进行。由于在每个节点上实施合并所时间为$O(1)$，所以合并算法的时间复杂性是合并后节点数的对数。因此算法从两棵HBLT的根开始仅沿右孩子移动。

合并策略最好用递归来实现。令 A、B 为需要合并的两棵最大HBLT。若一个为空，则另一个便是合并的结果。假设两者均不为空。为实现合并，先比较两个根元素，较大者作为合并后的根。假定 A 的根较大，且左子树为 L。令 C 是 A 的右子树与 B 合并而成的 HBLT。A 与 B 合并的结果是以 A 为根，以 L 和 C 为子树的最大HBLT。如果 L 的 s 值小于 C 的 s 值，则 C 为左子树，否则 L 为左子树。

7、HBLT的初始化

初始化过程是将 n 个元素逐个插入最初为空的最大HBLT，所需时间为$O(nlogn)$。为得到具有线性时间的初始化算法，我们首先创建 n 个仅含一个元素的最大HBLT，这 n 棵树组成一份 FIFO 队列，然后从队列中依次成对删除HBLT，然后将其合并后再插入队列末尾，直到队列只有一棵HBLT为止。

二、左高树实现

我们这里通过继承前面实现的链式二叉树实现左高树，因为左高树并不需要存储额外的数据。

1、链式二叉树修改

链式二叉树的修改包括：
（1）私有成员变为受保护成员：

template<typename T>
class linkedBinaryTree : public binaryTree<T>
{
   
protected:
	binaryTreeNode<T>* root = nullptr;