leetcode312. 戳气球_312 戳气球分治-优快云博客

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这篇博客介绍了如何使用动态规划和分治策略解决一个计算机科学问题——戳破气球获取最大硬币数。通过示例和代码解析，展示了如何从数组中找到最优解，避免重复计算，并优化算法效率。动态规划和分治法在此问题上的应用有助于理解这两种算法在解决复杂问题时的有效性。

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有 n 个气球，编号为0 到 n - 1，每个气球上都标有一个数字，这些数字存在数组 nums 中。

现在要求你戳破所有的气球。戳破第 i 个气球，你可以获得 nums[i - 1] * nums[i] * nums[i + 1] 枚硬币。这里的 i - 1 和 i + 1 代表和 i 相邻的两个气球的序号。如果 i - 1或 i + 1 超出了数组的边界，那么就当它是一个数字为 1 的气球。

求所能获得硬币的最大数量。

示例 1：
输入：nums = [3,1,5,8]
输出：167
解释：
nums = [3,1,5,8] --> [3,5,8] --> [3,8] --> [8] --> []
coins = 315 + 358 + 138 + 181 = 167
示例 2：

输入：nums = [1,5]
输出：10

提示：

n == nums.length
1 <= n <= 300
0 <= nums[i] <= 100
解题思路：
为了方便，首位先把两个1加上。
分治法：切换思路，先不要考虑第一个戳那个，考虑最后一个戳那个。如果最后一个戳的是mid，那么区间（left, right）= left * mid * right + （left， mid）+ （mid， right）。**切记要算上mid，因为mid是最后一个戳的，那么最左区间或者右区间戳的时候mid都还没戳。**同时用数组记录每个区间已经得到过的值，减少重复计算。
动态规划：子底向上，思想和分治一样。dp[left][right] = max(dp[left][right], newnums[left] * newnums[mid] * newnums[right] + dp[left][mid] + dp[mid][right]); 确保求（left， right）的时候里面的子区间已经有结果了。三重循环，外层是区间大小。
代码如下：

class Solution {
public:
    int maxCoins1(vector<int>& nums) { //dp
        int n = nums.size();
        vector<int>newnums(n + 2);
        for (int i = 1; i <= n; ++i)newnums[i] = nums[i - 1];
        newnums[0] = newnums[n + 1] = 1;
        int new_n = n + 2;
        vector<vector<int>>dp(new_n, vector<int>(new_n, 0));
        for (int len = 2; len < new_n; ++len) {
            for (int left = 0; left + len < new_n; ++left) {
                int right = left + len;
                for (int mid = left + 1; mid < right; ++mid) {
                    dp[left][right] = max(dp[left][right], newnums[left] * newnums[mid] * newnums[right] + dp[left][mid] + dp[mid][right]);
                }
            }
        }
        return dp[0][new_n - 1];
    }
    int maxCoins(vector<int>& nums) {//分治，加记忆搜索
        int n = nums.size();
        vector<int>newnums(n + 2);
        for (int i = 1; i <= n; ++i)newnums[i] = nums[i - 1];
        newnums[0] = newnums[n + 1] = 1;
        vector<vector<int>>dp(n + 2, vector<int>(n + 2, -1));
        return helper(newnums, dp, 0, n + 1);
    }
    int helper(vector<int>& nums, vector<vector<int>>&dp, int left, int right) {
        if (left + 1 >= right) return 0; //因为加了左右 边界 差值小于2直接为0
        if (dp[left][right] != -1) return dp[left][right];
        int res = 0;
        for(int i = left + 1; i < right; ++i) {
            int sum = nums[left] * nums[i] * nums[right];
            res = max(res, sum + helper(nums,dp, left, i) + helper(nums, dp, i, right));
        }
        dp[left][right] = res;
        return res;
    }
};