【转】Think Bayes - 我所理解的贝叶斯定理

写的很好。以下是正文，MD做了一些修改以适应优快云的格式——
转自：Think Bayes - 我所理解的贝叶斯定理

贝叶斯定理是统计学中非常重要的一个定理，以贝叶斯定理为基础的统计学派在统计学世界里占据着重要的地位，和概率学派从事件的随机性出发不同，贝叶斯统计学更多地是从观察者的角度出发，事件的随机性不过是观察者掌握信息不完备所造成的，观察者所掌握的信息多寡将影响观察者对于事件的认知。

条件概率和全概率

在介绍贝叶斯定理之前，先简单地介绍一下条件概率，描述的是事件 A 在另一个事件 B 已经发生条件下的概率，记作$P(A|B)$， $A 和 B$ 可能是相互独立的两个事件，也可能不是。

$$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$
$P(A \cap B)$ 表示 A，B 事件同时发生的概率，如果 A 和 B 是相互独立的两个事件，那么：
$$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{P(A)\times P(B)}{P(B)}=P(A)$$
上面的推导过程反过来证明了如果 A 和 B 是相互独立的事件，那么事件 A 发生的概率与 B 无关。

稍微做一下改变：$P(A\cap B)=P(A|B)\times P(B)$

考虑到先验条件 $B$ 的多种可能性，这里引入全概率公式：

$$P(A) =P(A\cap B)+P(A\cap B^C)=P(A|B)\times P(B)+P(A|B^c)\times P(B^c)$$
这里 $B^c$ 表示事件 $B$ 的互补事件，从集合的角度来说是 $B$ 的补集：

$$P(B)+P(B^c)=1$$
条件概率和全概率公式可以通过韦恩图形象地表示出来：

贝叶斯公式

在条件概率和全概率的基础上，很容易推导出贝叶斯公式：

$$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{P(B|A)\times P(A)}{P(B)}=\frac{P(B|A)\times P(A)}{P(B|A)\times P(A)+P(B|A^c)\times P(A^c)}$$
看上去贝叶斯公式只是把 $A$ 的后验概率转换成了 $B$ 的后验概率 + $A$ 的边缘概率的组合表达形式，因为很多现实问题中 $P(A|B)$ 或 $P(A \cap B)$ 很难直接观测，但是 $P(B|A)$ 和 $P(A)$ 却很容易测得，利用贝叶斯公式可以方便我们计算很多实际的概率问题。

一个很有意思的例子

在生活中，几乎所有人（包括统计学者）都会无意识地将两个事件的后验概率混淆，即：

$$P(A|B)=P(B|A)----wrong$$
最经典的一个例子就是疾病检测，假设某种疾病在所有人群中的感染率是0.1%，医院现有的技术对于该疾病检测准确率为 99%（已知患病情况下， 99% 的可能性可以检查出阳性；正常人 99% 的可能性检查为正常），如果从人群中随机抽一个人去检测，医院给出的检测结果为阳性，那么这个人实际得病的概率是多少？

很多人会脱口而出 “99%”，但真实概率远低于此，因为他们把两个后验概率搞混了，如果用 $A$ 表示这个人患有该疾病，用 $B$ 表示医院检测的结果是阳性，那么

$$P(B|A) = 99\%$$ 表示的是「已知一个人得病的情况下医院检测出阳性的概率」，而我们现在问的是「对于随机抽取的这个人，已知检测结果为阳性的情况下这个人患病的概率」，即 $P(A|B)$ 。

我们可以用贝叶斯定理来计算这个人实际得病的概率：
$$P(A|B)=\frac{P(B|A)\times P(A)}{P(B|A)\times P(A)+P(B|A^c)\times P(A^c)}$$
其中：
$P(A)=0.001$，被检测者患病的概率
$P(A^c)=0.999$，被检测未者患病的概率
$P(B|A)=0.99$，已知患病的情况下检测为阳性的概率
$P(B|A^c)=0.01$，已知未患病的情况下检测为阳性的概率

将上面的概率代入到贝叶斯公式中，可得：
$$P(A|B)=\frac{P(B|A)\times P(A)}{P(B|A)\times P(A)+P(B|A^c)\times P(A^c)}=\frac{0.99\times 0.001}{0.99\times 0.001 + 0.01\times 0.999}\approx 0.09$$
这个公式在这里的实际意义是什么？让我们用图来解释（图中概率经过四舍五入，考虑到图片的尺寸，面积并没有和概率严格对应起来）：

从贝叶斯的角度来看，随意选取的一个被测者，由于信息并不充分，未检测之前有假阳性、真阳性、假阴性和真阴性四种可能，这些可能性由检测技术和该疾病的感染率决定，当检测结果为阳性的时候，只剩下真阳性和假阳性两种可能，而真阳性的概率仅为假阳性的十分之一，贝叶斯公式在这里的实际意义是：

$$P(A|B)=\frac{True\ Positive}{True\ Positive+False\ Positive}=\frac{0.001}{0.01+0.001}\approx0.09$$
即使被医院检测为阳性，实际患病的概率其实还不到10%，有很大可能是假阳性，往往需要复检来确定是否真的患病，让我们再来计算初检和复检结果都为阳性时，患病的可能性。假设两次检查的准确率相同，都是99%，这里令 B 为第一次检测结果为阳性，C 为第二次检测结果为阳性，A 为被检测者患病，那么两次检测结果都是阳性患病的概率可以表示为：
$$P(A|(B\cap C))=\frac{P((B\cap C)|A)\times P(A)}{P((B\cap C)|A)\times P(A)+P((B\cap C)|A^c)\times P(A^c)}$$

其中：
$P(A)=0.001$，被检测者患病的概率
$P(A^c)=0.999$，被检测者未患病的概率
$P((B\cap C)|A) = 0.99\times 0.99 = 0.9801$，已知患病情况下连续两次检测结果为阳性的概率
$P((B\cap C)|A^c) = 0.01\times 0.01 = 0.0001$，已知未患病情况下连续两次检测结果为阳性的概率

代入后可得：

$$\begin{split} P(A|(B\cap C)) &=\frac{P((B\cap C)|A)\times P(A)}{P((B\cap C)|A)\times P(A)+P((B\cap C)|A^c)\times P(A^c)}\\&=\frac{0.9801\times 0.001}{0.9801\times 0.001 + 0.0001\times 0.999}\\&\approx 0.9 \end{split}$$
可见复检结果大大提高了检测的可信度，联系上面的图，复检的意义在于大幅减少假阳性的可能$(0.01 \rightarrow 0.0001)$从而提高阳性检测的准确性。