统计学习笔记（四）朴素贝叶斯法

朴素贝叶斯法

4.1 naive Bayes的学习与分类

4.1.1 基本方法

设输入空间为n维向量的集合$\frak{X} \subseteq R^n$，输出空间为类标记的集合$Y=\left \{ c_1, c_2, ... , c_K \right \}$。输入为特征向量$x \in X$，输出为类标记$y \in Y$。X是定义在输入空间上的随机变量，Y是定义在输出空间上的随机变量。$P(X, Y)$是XY的联合概率分布。训练数据集

$$T=\left \{ (x_1,y_1), (x_2,y_2), ... , (x_N, y_N) \right \}$$ 根据联合概率分布 $P(X, Y)$独立同分布产生。

朴素贝叶斯法通过训练数据集学习联合概率分布$P(X,Y)$。具体的，学习以下先验概率分布及条件概率分布。先验概率分布

$$P(Y=c_k),k=1,2,...,K$$
条件概率分布
$$P(X=x|Y=c_k)=P \left( X^{(1)}=x^{(1)},X^{(2)}=x^{(2)},...,X^{(n)}=x^{(n)} \right), k=1,2,...,K$$
朴素贝叶斯法对条件概率分布作了条件独立性假设。假设
$$\begin {aligned} P(X=x \mid Y=c_k) &=P(X^{(1)}=x^{(1)},X^{(2)}=x^{(2)},...,X^{(n)}=x^{(n)} | Y=c^k) \\ &=\prod_{j=1}^{n} P \left( X^{(j)}=x^{(j)} \mid Y=c^k \right) \end {aligned} .....(4.3)$$
朴素贝叶斯法实际上学习到了生成数据的机制，所以属于生成模型。

朴素贝叶斯法分类时，对给定的输入 $x$ ，通过学习到的模型计算后验概率分布$P(Y=c_k \mid X=x)$，将后验概率最大的类作为x的类输出。后验概率计算根据贝叶斯定理进行：

$$P(Y=c_k \mid X=x) = \frac { P(X=x \mid Y=c_k)P(Y=c_k)} { \sum_{k=1}^K {P(X=x \mid Y=c_k)P(Y=c_k)} } …………(4.4)$$
（注：其实公式4.4右半部分的分母能进一步简化为 $P(X=x)$ ，因为式中对 $Y$ 的每一种情况下 $X=x$ 的概率求和，也就是 $X=x$ 的概率 $P(X=x)$ 。）
$\\$
将(4.3)带入(4.4)，
$$P(Y=c_k \mid X=x) = \frac { P(Y=c_k) { \prod_{j=1}^{n} { P( X^{(j)}=x^{(j)} \mid Y=c^k ) } } } { \sum_k { P(Y=c_k) \prod_{j=1}^{n} { P( X^{(j)}=x^{(j)} \mid Y=c^k ) } } } …(4.5)$$
于是，朴素贝叶斯分类器
$$\begin{equation} y=f(x)=\mathop \arg \max_{c_k} \frac { P(Y=c_k) \prod_j P( X^{(j)}=x^{(j)} | Y=c_k ) } { \sum_k P(c_k) \prod_j P( X^{(j)}=x^{(j)} | Y=c_k ) } \end{equation} ......(4.6)$$
分母对于任何一个 $c_k$都是相同的，所以只需让分子最大化即可。分类器简化为
$$\begin{equation} y^{'}=f^{'}(x)=\mathop \arg \max_{c_k} { P(c_k) \prod_j P( X^{(j)}=x^{(j)} | Y=c_k ) } \end{equation} .........(4.7)$$
（注：其实我上一个注已经解释过了，文中这样解释也不是不可以，就是太繁琐了。什么叫对任何一个 $c_k$ 都是相同的？就是说这个分母其实和 $c_k$ 没什么关系。具体来说，这个分母其实就是 $P(X=x)$，它对于朴素贝叶斯分类器来说是一个常数。不知我这样说读者理解了吗？）

4.1.2 后验概率最大化的含义

朴素贝叶斯法将实例分类到后验概率最大的类中，这等价于期望风险最小化。理解就好，也很好理解我不写了。

4.2 朴素贝叶斯法的参数估计

4.2.1 极大似然估计

在朴素贝叶斯法中，学习意味着估计 $P(Y=c_k)$ 和 $P( X^{(j)} = x^{(j)} | Y = c^k )$ 。可以利用极大似然估计法估计相应的概率。
先验概率的极大似然估计是

$$\begin{equation} P(Y=c_k) = \frac { \sum_{i=1}^N I( y_i = c_k ) } {N} , k=1,2,...,K \end{equation} \ \ \ \ \ \ \ (4.8)$$
设第j个特征向量 $x^{(j)}$ 的可能取值的集合为 $\{ {a_j}_1, {a_j}_2,...,{a_j}_{S_j} \}$ ，条件概率 $P( X^{(j)} = {a_j}_l | Y = c_k )$ 的极大似然估计是
$$\begin{equation} P( X^{(j)} = {x_j}_l | Y=c_k ) = \frac { \sum_{i=1}^N I( x_i^{(j)} = {a_j}_l , y_i = c_k ) } { \sum_{i=1}^N I(y_i = c_k) } \\ j=1,2,...,n; l=1,2,...,S_j; k=1,2,...,K \end{equation} ......(4.9)$$
式(4.9)中， $x_i^{(j)}$ 是第i个特征向量的第j个特征； ${a_j}_l$ 是第j个特征的第 $l$个可能的取值； $I$ 是指示函数取值为0和1。

4.2.2 采用极大似然估计的学习和分类的算法

（上面的数学公式输入得我要吐了，更确切的说是边tu边写到这里。总算到算法了，离代码不远了。）
算法4.1 朴素贝叶斯算法
输入：训练数据 $T = \{ (x_1,y_1), (x_2,y_2), ...(x_N,y_N) \}$ ，其中 $x_i = { (x_i^{(1)}, x_i^{(2)}, ...x_i^{(n)} ) }^T$， $x_i^{(j)}$ 是第$i$个样本的第$j$个特征，$x_i^{(j)} \in \{ {a_j}_1, {a_j}_2, ..., {a_j}_{S_j} \}$，${a_j}_l$是第$j$个特征可能取得第$l$个值，$j=1,2,...,n$，$l=1,2,...,S_j$ ， $y_i \in \{ c_1, c_2, ..., c_K \}$ ；实例$x$：
输出：实例$x$的分类。
（1）计算先验概率及条件概率

$$\begin {equation} P(Y=c_k) = \frac { \sum_{i=1}^N I ( y_i=c_k ) } {N}, k = 1,2,...,K P( X^{(j)} = a_{jl} | Y = c_k ) = \frac { \sum_{i=1}^N I ( x_i^{(j)} = a_{jl}, y_i = c_k ) } { \sum_{i=1}^N I ( y_i = c_k ) } \\ j = 1,2,...,n; l = 1,2,...,S_j; k = 1,2,...,K \end {equation}$$
（2）对于给定的 $n$ 维实例 $x={ ( x^{(1)}, x^{(1)}, ... , x^{(n)} ) }^T$ ，计算
$$\begin {equation} P(Y=c_k) \prod_{j=1}^n P \left( X^{(j)} = x^{(j)} | Y = c_k \right), k = 1,2,...,K \end {equation}$$
（3）确定实例 $x$的类
$$\begin{equation} y^{'}=f^{'}(x)=\mathop \arg \max_{c_k} { P(c_k) \prod_j P( X^{(j)}=x^{(j)} | Y=c_k ) } \end{equation}$$
在此式中，运算符 $$\begin{equation}\mathop\arg\max_{c_k}\end{equation}$$ 的意义是对参数 $c_k$ 赋值从 $c_1$ 到 $c_K$ ，取其中的最大值。

4.2.3 贝叶斯估计

为了避免概率为0的情况对计算结果的影响，采用贝叶斯估计。直接上贝叶斯估计的公式。

$$\begin{equation} P_\lambda ( X^{(j)} = {x_j}_l | Y=c_k ) = \frac { \sum_{i=1}^N I( x_i^{(j)} = {a_j}_l , y_i = c_k ) + \lambda} { \sum_{i=1}^N I(y_i = c_k) + S_j \lambda } \\ j=1,2,...,n; l=1,2,...,S_j; k=1,2,...,K \\ S_j: 第j个特征的可能取值的个数 \end{equation}$$
对于任意的 $j$ 和 $l$ ， $P_\lambda ( X^{(j)} = {x_j}_l | Y=c_k )$ 仍然是一个概率（ $0 \leq P_\lambda \leq 1$）。

代码

这里我想弄一个文本分类的代码。还在构思中。