线性回归、softmax、感知机_感知机和softmax回归的区别-优快云博客

本文介绍了线性回归的基本要素，包括模型、数据集、损失函数（平方损失函数）和优化函数（随机梯度下降）。接着讲解了softmax的基本概念和在分类问题中的应用，以及softmax与分类模型的交叉熵损失函数。此外，还讨论了多层感知机的结构，包括隐藏层、激活函数和实现方法。

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一、线性回归：

线性回归的基本要素：模型、数据集、损失函数、优化函数(梯度下降法)。

模型：y = w*area + w*age + b； (wx +b)

损失函数：在模型训练中，我们需要衡量价格预测值与真实值之间的误差。通常我们会选取一个非负数作为误差，且数值越小表示误差越小。一个常用的选择是平方函数。它在评估索引为 ii 的样本误差的表达式为

优化函数 - 随机梯度下降：

当模型和损失函数形式较为简单时，上面的误差最小化问题的解可以直接用公式表达出来。这类解叫作解析解（analytical solution）。本节使用的线性回归和平方误差刚好属于这个范畴。然而，大多数深度学习模型并没有解析解，只能通过优化算法有限次迭代模型参数来尽可能降低损失函数的值。这类解叫作数值解（numerical solution）。

在求数值解的优化算法中，小批量随机梯度下降（mini-batch stochastic gradient descent）在深度学习中被广泛使用。它的算法很简单：先选取一组模型参数的初始值，如随机选取；接下来对参数进行多次迭代，使每次迭代都可能降低损失函数的值。在每次迭代中，先随机均匀采样一个由固定数目训练数据样本所组成的小批量（mini-batch）BB，然后求小批量中数据样本的平均损失有关模型参数的导数（梯度），最后用此结果与预先设定的一个正数的乘积作为模型参数在本次迭代的减小量。

学习率: ηη代表在每次优化中，能够学习的步长的大小
批量大小: BB是小批量计算中的批量大小batch size

总结一下，优化函数的有以下两个步骤：

(i)初始化模型参数，一般来说使用随机初始化；
(ii)我们在数据上迭代多次，通过在负梯度方向移动参数来更新每个参数。

pytorch实现:

线性回归模型从零开始的实现：

二、softmax和分类模型

softmax的基本概念

分类问题
一个简单的图像分类问题，输入图像的高和宽均为2像素，色彩为灰度。
图像中的4像素分别记为x1,x2,x3,x4。
假设真实标签为狗、猫或者鸡，这些标签对应的离散值为y1,y2,y3。
我们通常使用离散的数值来表示类别，例如y1=1,y2=2,y3=3。
权重矢量

o1=x1w11+x2w21+x3w31+x4w41+b1

o2=x1w12+x2w22+x3w32+x4w42+b2

o3=x1w13+x2w23+x3w33+x4w43+b3

神经网络图
下图用神经网络图描绘了上面的计算。softmax回归同线性回归一样，也是一个单层神经网络。由于每个输出o1,o2,o3的计算都要依赖于所有的输入x1,x2,x3,x4，softmax回归的输出层也是一个全连接层。

既然分类问题需要得到离散的预测输出，一个简单的办法是将输出值oi当作预测类别是i的置信度，并将值最大的输出所对应的类作为预测输出，即输出 arg⁡maxioi。例如，如果o1,o2,o3分别为0.1,10,0.1，由于o2最大，那么预测类别为2，其代表猫。

输出问题
直接使用输出层的输出有两个问题：
1. 一方面，由于输出层的输出值的范围不确定，我们难以直观上判断这些值的意义。例如，刚才举的例子中的输出值10表示“很置信”图像类别为猫，因为该输出值是其他两类的输出值的100倍。但如果o1=o3=103，那么输出值10却又表示图像类别为猫的概率很低。
2. 另一方面，由于真实标签是离散值，这些离散值与不确定范围的输出值之间的误差难以衡量。
softmax回归的矢量计算表达式为：
softmax回归对样本i分类的矢量计算表达式为：

交叉熵损失函数

交叉熵（cross entropy）是一个常用的衡量方法：

假设训练数据集的样本数为n，交叉熵损失函数定义为：

其中Θ代表模型参数。同样地，如果每个样本只有一个标签，那么交叉熵损失可以简写成ℓ(Θ)=−(1/n)∑i=1nlog⁡y^y(i)(i)。从另一个角度来看，我们知道最小化ℓ(Θ)等价于最大化exp⁡(−nℓ(Θ))=∏i=1ny^y(i)(i)，即最小化交叉熵损失函数等价于最大化训练数据集所有标签类别的联合预测概率。