Softmax公式及梯度计算

博客围绕softmax展开,它是多分类器,可计算预测对象属各类别的概率。介绍了softmax公式,说明了公式中各参数含义,还阐述了梯度计算方法,已知y的梯度,通过计算图得出z的梯度计算方式,并分情况给出具体计算结果。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

softmax是一个多分类器,可以计算预测对象属于各个类别的概率。

公式

yi=S(z)i=ezi∑j=1Cezj,i=1,...,Cy_i=S(\boldsymbol{z})_i = \frac{e^{z_i}}{\sum_{j=1}^{C}e^{z_j}},i=1,...,Cyi=S(z)i=j=1Cezjezii=1,...,C

  • z\boldsymbol{z}z是上一层的输出,softmax的输入, 维度为CCC
  • yiy_iyi为预测对象属于第ccc类的概率

梯度

变量间的计算图如上,已知y\boldsymbol{y}y的梯度∂l∂yi,i=1,...,C\frac{\partial l}{\partial y_i}, i=1,...,Cyil,i=1,...,C,要计算z\boldsymbol{z}z的梯度∂l∂zj,j=1,...,C\frac{\partial l}{\partial z_j}, j=1,...,Czjl,j=1,...,C

从计算图中可以看到,z\boldsymbol{z}z的分量zjz_jzjy\boldsymbol{y}y的每一个分量都有贡献,因此:
∂l∂zj=∑i=1C∂l∂yi∂yi∂zj\frac{\partial l}{\partial z_j} = \sum_{i=1}^{C}\frac{\partial l}{\partial y_i} \frac{\partial y_i}{\partial z_j}zjl=i=1Cyilzjyi

由于∂l∂yi\frac{\partial l}{\partial y_i}yil已知,因此计算∂yi∂zj\frac{\partial y_i}{\partial z_j}zjyi即可!

为方便记∑j=1Cezj\sum_{j=1}^{C}e^{z_j}j=1Cezj∑C\sum_CC

(1)i=ji=ji=j时:
∂yi∂zj=ezi∑C−eziezi∑C2=ezi∑C−ezi∑C2=yi−yi2=yi(1−yi) \begin{aligned} \frac{\partial y_i}{\partial z_j} & = \frac{e^{z_i}\sum_C-e^{z_i}e^{z_i}}{{\sum_C}^2} \\ &=\frac{e^{z_i}}{\sum_C} - \frac{e_{z_i}}{\sum_C}^2 \\ & = y_i-y_i^2 \\ & = y_i(1-y_i) \end{aligned} zjyi=C2eziCeziezi=CeziCezi2=yiyi2=yi(1yi)
(2)i≠ji \neq ji̸=j
∂yi∂zj=0∑C−eziezj∑C2=−ezi∑Cezj∑C=−yiyj \begin{aligned} \frac{\partial y_i}{\partial z_j} &= \frac{0\sum_C - e^{z_i}e^{z_j}}{{\sum_C}^2} \\ &= -\frac{e_{z_i}}{\sum_C}\frac{e_{z_j}}{\sum_C} \\ &=-y_iy_j \end{aligned} zjyi=C20Ceziezj=CeziCezj=yiyj

评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值