不同范数下的余弦定理_平行四边形法则与勾股定理–内积与范数

所谓的范数，就是向量长度这个概念在一般向量空间中的推广。简单地讲就是从向量空间 \( V\) 到数域 \( \mathbf{F}\) 的一个函数 \( |\cdot|\)，满足如下条件：

1) \( \forall v\in V,|v|\ge 0\)，并且 \( |v|=0\) 当且仅当 \( v=0\)。

2) \( |av|=|a| |v|\)

3) \( |u+v|\le |u|+|v|\)

在一个内积空间中，由内积表达式 \( \sqrt{\langle v,v\rangle}\) 就可以定义出一个范数，这个范数称为由内积诱导的范数。

不是所有的范数都是由内积诱导出来的。例如，在 \( \mathbb{R}^2\) 中，定义范数 \( |(x,y)|=|x|+|y|\)，它确实是范数但没有内积可以诱导出这个范数。因为，内积诱导的范数满足平行四边形法则： \[ |u+v|^2+|u-v|^2=2|u|^2+2|v|^2\] 即平行四边形四边的平方和等于两对角线的平方和。而上面举的例子显然不满足这个特性。

那么是不是一个范数只要满足平行四边形法则，它就必然是由某个内积诱导出来的呢？答案是肯定的。证明见下面。

那么平行四边形法则到底是什么东西？为什么有这么大的魔力，使它成为一个范数是否有内积背景的唯一门槛？

如果一个范数 \( |\cdot|\) 是由内积诱导的，也就是存在内积 \( \langle\cdot,\cdot\rangle\) 满足 \( |v|^2=\langle v,v\rangle\)，那么它必然带有内积的某些特性，尤其是，内积是个双线性函数(复数空间上是半双线性函数)，这就表明内积是个二次式，导致范数的平方本身也应该是个二次式。

更确切地讲，内积的半双线性直接导致余弦定理： \[ |u+v|^2=|u|^2+|v|^2+2\mathrm{Re}\,\langle u,v\rangle\] \[ |u-v|^2=|u|^2+|v|^2-2\mathrm{Re}\,\langle u,v\rangle\]

但是，这两个公式中依然有一个内积，所以无法用这个来判断某个范数是否由内积诱导的，原因是这个时候还不知道内积为何物