多目标几何规划问题在不确定性下的求解

背景简介

在工程、经济和科学领域中，多目标优化问题普遍存在，其中几何规划问题是众多优化问题中的一类。本书在不确定性条件下探讨了多目标几何规划问题（MOGP），并为求解提供了数学模型和数值示例。

多目标几何规划问题的数学模型

在不确定性条件下，多目标几何规划问题可以通过调整参数α来处理。数学模型如下：

对于α < 0.5

最小化目标函数

Minimize
f10(x) + 2cb f10i + cc f1i + 4 ca m0i

以及约束条件

(1 − 2α)ca i + 2αcb ri ≤ 1,
xk > 0, α ∈ ]0, 1[

对于α > 0.5

最小化目标函数

Minimize
f10(x) + cc j0i + 2cb joi + 4 ca m0i

以及约束条件

(2α − 1)cc ri + (1 − 2α)cb ri ≤ 1,
xk > 0, α ∈ ]0, 1[

数值示例

书中通过一系列数值示例来展示所提出的MOGP模型的有效性。示例包括线性不确定性分布、正态不确定性分布以及Zigzag不确定性分布，通过调整α值来求解局部和全局最优解。

线性不确定性分布下的示例

在α < 0.5时，针对线性不确定性分布，提出了一个具体的多目标问题，并给出了其确定性的加权和多目标高斯过程（MOGP）模型。

正态不确定性分布下的示例

对于正态分布的不确定性，提出了另一个多目标优化问题，问题的求解涉及到了正交条件和法向条件的求解。

Zigzag不确定性分布下的示例

在Zigzag不确定性分布下，问题求解同样需要考虑α值的调整，以及如何通过模型转换求解最优解。

总结与启发

在不确定性条件下求解多目标几何规划问题是一个复杂的优化问题。通过上述模型和示例，我们能够看到如何通过调整参数α来处理不同类型的不确定性，并结合权重来求得最优解。这些方法为在实际应用中处理不确定性问题提供了宝贵的洞见和工具。此外，理解这些复杂的数学模型有助于我们在工程和决策分析中做出更加精确的判断。

通过本章的阅读，我们能够感受到数学建模在解决实际问题中的重要性，以及它如何帮助我们更好地理解和应对复杂系统的不确定性。这些知识和技能的运用，可以极大地提高我们解决实际问题的效率和准确性。