两个分布的特征映射_实分析(2)-映射和基数

最新推荐文章于 2024-12-08 12:14:15 发布
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文章标签： 两个分布的特征映射
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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/weixin_36222664/article/details/113450906
本文探讨映射和基数在集合论中的基本概念，包括映射的定义、Cantor-Bernstein定理、可数集与不可数集的区别、基数的比较以及无最大基数定理。特别地，介绍了如何构造双射以证明集合的势，并讨论了连续基数的性质和连续统假设。

摘要生成于 C知道 ，由 DeepSeek-R1 满血版支持， 前往体验 >

映射和基数可以说是集合论中最基础的部分，在我看来，映射描述的是两个集合之间的关系而基数描述的是一个集合本身的性质，也就是一个集合元素的多少。如果一个集合是有限集那么很容易用一个特定的自然数来说明集合的元素的多少，但是如果一个集合的元素是无穷多个呢，如何来描述无穷多就成了本文的要点。下面简要说明本文的内容：

  • 映射
    • Cantor-Bernstein定理
  • 集合的势
    • 可数集
    • 不可数集
    • 基数及其比较
  • 重要的例题

这里说明一下为什么不再复习数分中的内容了，其实是在数分中介绍的这部分内容不够全面和仔细并且与实变的内容有一定程度上的重叠，为了内容的完整性和完备性还是以实变的内容为主。

映射

定义2.1（映射）
equation?tex=%5Cforall+x%5Cin+X%2C%5Cexists%21y%5Cin+Y 则称这个对应为映射（变换或者函数）可以记为
equation?tex=f%3A+X%5Cto+Y

关于一个映射我们可以定义该映射下的像集

equation?tex=f%3AX%5Cto+Y%2CA%5Csubset+X 则有
equation?tex=f%28A%29%3D%5C%7By%5Cin+Y%3Ax%5Cin+A%2Cy%3Df%28x%29%5C%7D

下面是像集的一些简单性质

898359dfc308761b2f9168a56459185e.png

同样的我们也可以定义下面的原像集

equation?tex=f%3AX%5Cto+Y%2CB%5Csubset+Y则有
equation?tex=f%5E%7B-1%7D%28B%29%3D%5C%7Bx%5Cin+X%3Af%28x%29%5Cin+B%5C%7D

下面是原像集的一些性质

4748ff8ca1c5f6d7487c83c6489b9af0.png
定义2.2（满射、单射和一一映射）
对于
equation?tex=f%3A+X%5Cto+Y如果

1.
equation?tex=f%28X%29%3DY 则称
equation?tex=f 为满射

2.
equation?tex=%5Cforall+x_1%2Cx_2%5Cin+X%2Cx_1%5Cne+x_2%5CRightarrow+f%28x_1%29%5Cne+f%28x_2%29 则称
equation?tex=f 为单射

3.如果
equation?tex=f 既是满射也是单射那么称其为一一映射

下面介绍复合映射的概念

定义2.3（复合映射）
equation?tex=f%3AX%5Cto+Y%2Cg%3A+Y%5Cto+W 则由
equation?tex=h%28x%29%3Dg%5Bf%28x%29%5D%2C%28x%5Cin+X%29 定义的
equation?tex=h%3A+X%5Cto+W 称为
equation?tex=g%2Cf 的复合映射

下面介绍特征函数，这个函数非常重要学过概率论和数理统计的同学应该知道经验分布函数依概率收敛于总体分布函数。而经验分布函数就是后面提及的简单函数的一个变种，同时简单函数完全是由特征函数的和组成，所以研究好特征函数的性质至关重要。

6c7d277473e6e76456c5d269fa82119c.png

下面是特征函数的性质

  1. equation?tex=%5C%28+%5Cchi+_%7BA%5Ccup+B%7D%3D%5Cchi+_A%2B%5Cchi+_B-%5Cchi+_%7BA%5Ccap+B%7D+%5C%29+
  2. equation?tex=%5C%28+%5Cchi+_%7BA%5Ccap+B%7D%3D%5Cchi+_A%C2%B7%5Cchi+_B+%5C%29+
  3. equation?tex=%5C%28+%5Cchi+_%7BA%5Csetminus+B%7D%3D%5Cchi+_A%5Cleft%5B+1-%5Cchi+_B+%5Cright%5D++%5C%29+++
  4. equation?tex=%5C%28+%5Cchi+_%7BA%5CDelta+B%7D%3D%7C%5Cchi+_A-%5Cchi+_B%7C+%5C%29+

除此之外还有一个跟上下极限、上下限集相关的结论：

78d1a788cc8c87a9e08fe7ed558b37cf.png
定理2.1（单调映射的不动点）
equation?tex=X 非空，且
equation?tex=f%3A+%5Cmathscr%7BP%7D%5Cleft%28+X+%5Cright%29+%5Crightarrow+%5Cmathscr%7BP%7D%5Cleft%28+X+%5Cright%29+++ 若对任意
equation?tex=A%2CB%5Cin%5Cmathscr%7BP%7D%28X%29%2CA%5Csubset+B 有
equation?tex=f%28A%29%5Csubset+f%28B%29 则存在
equation?tex=T%5Cin%5Cmathscr%7BP%7D%28X%29 使得
equation?tex=f%28T%29%3DT
  • 作集合
    equation?tex=S%3D%5C%7BA%3AA%5Cin%5Cmathscr%7BP%7D%28X%29%2CA%5Csubset+f%28A%29%5C%7D%2CT%3D%5Cbigcup_%7BA%5Cin+S%7DA%5Cin%5Cmathscr%7BP%7D%28X%29
  • 只用证明
    equation?tex=T%3Df%28T%29 即可
定义2.3（分离集）
存在
equation?tex=X%2CY 之间的映射
equation?tex=f%3AX%5Cto+Y%2Cg%3AY%5Cto+X，
equation?tex=E%5Csubset+X 为分离集则
equation?tex=E%5Ccap+g%28Y%5Csetminus+f%28E%29%29%3D++%5Coslash+++++

下面介绍两个个引理，由这个引理可以导出后面重要的C-B定理

引理2.1
equation?tex=X 中的分离集为
equation?tex=%5CGamma ，
equation?tex=A%3D%5Cbigcup_%7BE%5Cin%5CGamma%7DE 为
equation?tex=%5CGamma 中的最大元
引理2.2（集合在映射下的分解）
如果有
equation?tex=f%3AX%5Cto+Y%2Cg%3A+Y%5Cto+X 则存在分解
equation?tex=X%3DA%5Ccup%5Cbar%7BA%7D%2CY%3DB%5Ccup%5Cbar%7BB%7D 其中
equation?tex=f%28A%29%3DB%2Cg%28%5Cbar%7BB%7D%29%3D%5Cbar%7BA%7D%2CA%5Ccap%5Cbar%7BA%7D%3D%5Coslash%2CB%5Ccap%5Cbar%7BB%7D%3D%5Coslash

根据上面两个引理可以轻松推出Cantor-Bernstein定理

定理2.2（Cantor-Bernstein定理）
若集合
equation?tex=X%2CY 的某个真子集对等，
equation?tex=Y%2CX 的某个真子集对等，则
equation?tex=X%5Csim+Y
  • 由定理2.2可以知道
    equation?tex=X%3DA%5Ccup%5Cbar%7BA%7D%2CY%3DB%5Ccup%5Cbar%7BB%7D 且
    equation?tex=f%28A%29%3DB%2Cg%28%5Cbar%7BB%7D%29%3D%5Cbar%7BA%7D%2CA%5Ccap%5Cbar%7BA%7D%3D%5Coslash%2CB%5Ccap%5Cbar%7BB%7D%3D%5Coslash
  • 则构造双射
    equation?tex=%5C%28+F%5Cleft%28+x+%5Cright%29+%3D%5Cleft%5C%7B+%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D+%09f%5Cleft%28+x+%5Cright%29+%2C%5C+x%5Cin+A%5C%5C+%09g%5E%7B-1%7D%5Cleft%28+x+%5Cright%29+%2C%5C+x%5Cin+%5Cbar%7BA%7D%5C%5C+%5Cend%7Barray%7D+%5Cright.++%5C%29+ 即可得证

集合的势

定义2.4
设
equation?tex=A%2CB 是两个集合，如果
equation?tex=A%5Csim+B 则我们说这两个集合等势

基数的概念是有限个元素个数的一个推广，它反映出一切对等集所仅有的共性（数量属性）

自然数集

equation?tex=%5Cmathbb%7BN%7D 的基数——可数集

我们记自然数集

equation?tex=%5Cmathbb%7BN%7D 的基数为
equation?tex=%5Caleph_0 ,集合
equation?tex=A%5Csim%5Cmathbb%7BN%7D%5CLeftrightarrow+%7CA%7C%3D%5Caleph_0

下面有几个性质

  • equation?tex=%5Cmathbb%7BZ%7D%5Csim%5Cmathbb%7BQ%7D%5Csim%5Cmathbb%7BN%7D
  • 任意无限集合
    equation?tex=E 必包含一个可数集
  • equation?tex=A_n%2Cn%3D1%2C2%2C... 为可数集，则
    equation?tex=A%3D%5Cbigcup_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7DA_n 为可数集
  • equation?tex=A_n%2Cn%3D1%2C2%2C... 为可数集，则
    equation?tex=A_1%5Ctimes+A_2%5Ctimes...%5Ctimes+A_n 为可数集

性质1和性质3的构造借助了图论的思想（对角线方法），有兴趣的读者可以参考下面的链接

http://en.wikipedia.org/wiki/Cardinal_number​en.wikipedia.org

下面的几个例子是对上述的性质的一个简单应用

例2.1

equation?tex=R%5E1 中互不相交的区间是可数集

例2.2

equation?tex=R%5E1 上单调函数的不连续点是可数集
  • 以单增函数
    equation?tex=f%28x%29 的不连续点
    equation?tex=x_0 为例
  • 每个不连续点
    equation?tex=x_0 对应一个区间
    equation?tex=%28f%28x_0%29-0%2Cf%28x_0%29%2B0%29 同时运用例2.1即可得出结论

例2.3

设

equation?tex=E%5Csubset+R%5E1 是可数集，则存在
equation?tex=x_0%5Cin+R%5E1 使得
equation?tex=E%5Ccap%28E%2B%5C%7Bx_0%5C%7D%29%3D%5Coslash
  • 令
    equation?tex=E%3D%5C%7Br_n%5C%7D 作
    equation?tex=A%3D%5C%7Br_n-r_m%3An%5Cne+m%5C%7D
  • 因为
    equation?tex=A 是可数集，则存在
    equation?tex=R%5E1 中点
    equation?tex=x_0 满足
    equation?tex=x_0%5Cne+r_n-r_m%2C+%28n%5Cne+m%3Bn%2Cm%3D1%2C2%2C...%29
  • 即
    equation?tex=r_n%5Cne+r_m%2Bx_0 得证

equation?tex=R%5E1 的基数——不可数集

由一一映射

equation?tex=f%28x%29%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Cpi%7Darctanx 知
equation?tex=R%5E1%5Csim+%5B-1%2C1%5D ，再由一一映射
equation?tex=f%28x%29%3D%5Cfrac%7Bx%2B1%7D%7B2%7D 知
equation?tex=%5B-1%2C1%5D%5Csim%5B0%2C1%5D 所以我们仅用研究
equation?tex=%5B0%2C1%5D 的基数即可
定理2.3
区间
equation?tex=%5B0%2C1%5D%3D%5C%7Bx%3A0%5Cle+x%5Cle1%5C%7D 不是可数集

这个定理在这里也不详细证明了，提供两种思路：

  • 利用反证法+对角线方法证明
  • 证明
    equation?tex=%5B0%2C1%5D 的基数和
    equation?tex=%5Cmathbb%7BN%7D 的幂集的基数相等

我们称

equation?tex=%5B0%2C1%5D 的基数为连续基数，记为
equation?tex=c%28%E6%88%96%5Caleph_1%29 ,由上面的描述可以知道
equation?tex=%7CR%5E1%7C%3Dc

同样的我们有下面的一些性质

  • equation?tex=A_n%2Cn%3D1%2C2%2C... 的基数为连续基数，则
    equation?tex=A%3D%5Cbigcup_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7DA_n 的基数为连续基数
  • equation?tex=A_n%2Cn%3D1%2C2%2C... 的基数为连续基数，则
    equation?tex=A_1%5Ctimes+A_2%5Ctimes...%5Ctimes+A_n 的基数为连续基数

结合上面的一些性质我们可以得到下面这个更加普遍的结论

对于

equation?tex=%5Cbigcup_%7B%5Calpha%5Cin+E%7DA_%5Calpha 只有在
equation?tex=E%2C%5Cforall+A_%5Calpha 都至多可数时才至多可数，否则不可数

下面引出一个关于闭区间上连续函数的例题

例2.4

区间

equation?tex=%5Ba%2Cb%5D 上的连续函数全体
equation?tex=C%5Ba%2Cb%5D 的基数为
equation?tex=c
  • 常函数是连续函数则
    equation?tex=R%5E1 和
    equation?tex=C%5Ba%2Cb%5D 的一个子集对等，则
    equation?tex=%7CC%5Ba%2Cb%5D%7C%5Cge+c
  • 通过构造单射
    equation?tex=f%28%5Cvarphi%29%3D%5C%7B%28s%2Ct%29%5Cin%5Cmathbb%7BQ%7D%5Ctimes%5Cmathbb%7BQ%7D%3As%5Cin%5Ba%2Cb%5D%2Ct%5Cle%5Cvarphi%28s%29%5C%7D 且
    equation?tex=f%3AC%5Ba%2Cb%5D%5Cto+%5Cmathscr%7BP%7D%28%5Cmathbb%7BQ%5E2%7D%29++ ,则
    equation?tex=%7CC%5Ba%2Cb%5D%7C%5Cle%5Cmathscr%7BP%7D%28%5Cmathbb%7BQ%5E2%7D%29%3Dc
  • 综上所述
    equation?tex=%7CC%5Ba%2Cb%5D%7C%3Dc

最后我们介绍无最大基数定理

定理2.4（无最大基数定理）
若
equation?tex=A 为非空集合，则
equation?tex=A 与其幂集
equation?tex=%5Cmathscr%7BP%7D%28A%29 不对等
  • 利用反证法，构造
    equation?tex=A 到
    equation?tex=%5Cmathscr%7BP%7D%28A%29上的一一映射
    equation?tex=f
  • 作集合
    equation?tex=B%3D%5C%7Bx%5Cin+A%3Ax%5Cnotin+f%28x%29%5C%7D
    • 若
      equation?tex=y%5Cin+B 则
      equation?tex=y%5Cnotin+f%28y%29%3DB
    • 若
      equation?tex=y%5Cnotin+B 则
      equation?tex=y%5Cin+f%28y%29%3DB
    • 矛盾，即得证

这个证明非常的巧妙，充分利用了幂集的特点，是一个非常经典的反证法的应用。

最后再提一嘴连续统假设

我们从上面集合基数的讨论中可以发现

equation?tex=%5Cmathbb%7BN%7D 的基数为
equation?tex=%5Caleph_0 ，
equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D 的基数为
equation?tex=%5Caleph_1 但是在它们之间是否存在其他的基数呢？这就是连续统假设要研究的问题。有兴趣的读者可以搜搜看，毕竟这个也是数学界皇冠上的珍珠之一。
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