中值定理总结_数学分析|第六章 微分中值定理及其应用利用拉格朗日中值定理解决极限问题总结...

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摘要： 利用拉格朗日中值定理可以解决一类极限问题，此法关键之处在于找到相应的函数和相应的自变量，本文通过几个具体事例分析来帮助大家更好的理解应用！

拉格朗日中值定理回顾

若函数满足如下条件：
(ⅰ)在闭区间上连续；
(ⅱ)在开区间上可导，
则在上至少存在一点，使得

分析：
有时候我们也会用到

大家在利用拉格朗日中值定理求极限的时候，一定要注意构造的函数是谁，对应的区间端点是谁，导函数是谁！

利用拉格朗日中值定理解决极限问题总结

【例1】.(第二章数列极限第二节收敛数列的性质课后习题第八大题第三小题)

解：
令

则可得

则由拉格朗日中值定理可得

又

则由数列极限的迫敛性可得

【例2】.

解：
令

则可得

又

利用拉格朗日中值定理可得

则可得

从而

【例3】. (赣南师范大学2018)

解：
令

则可得

又

利用拉格朗日中值定理可得

此时可得

从而

【例4】.

解：

即

在和 之间

即

在和 之间
则可得

【例5】.

解：
令

则可得

从而

【例6】.(2012浙江大学)
设在的某邻域内有连续的一阶导数，

试求

分析：
看到,想到利用拉格朗日中值定理，即

在和 之间
此时可得

关键是下面怎么去做呢？有的人想这样做，即

但是大家注意哦，此时并不满足极限的运算法则，因为最右边极限

不存在。
下面我们再看条件，此时条件还没有利用。那么如何利用呢？二阶导本质其实也是个极限，即

又因为

此时可得

则可得

注意：
此题是个非常经典的极限题，很多同学做到

这一步，下面就不知道如何去做啦，大家一定要好好理解！

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