是无穷大还是无穷小_第五讲 无穷大和无穷小

说在前面的话：

这一讲详细介绍了无穷大和无穷小的定义，定义很重要哦~因为很多证明都是依据定义进行的，所以我还是要建议大家反复研读定义，隔几天再回头琢磨琢磨，让它们印在脑海里。另外，又讲了无穷小的一些性质。

你会发现本文中的证明中多次提到了极限的定义（戳我了解）这也再一次印证了定义的重要性，以后还会遇到很多使用定义的证明过程，希望大家重视！

我已经把文章写得尽可能详细了，如果你觉得还是很吃力，不要放弃，这很正常，请回头看前面几讲，慢慢来，不要着急，打好基础比啥都重要！请相信自己是可以的！！

如果有码错字的地方还请主动提出，我会及时纠正，这样方便大家共同学习。那么我们一起学习吧~

一、无穷小

首先我们要正确认识无穷小，简单来说无穷小就是以

为极限的函数。那么说到函数极限，自变量有两个过程：①其中一个过程是

趋近于

时，

趋近于

，即

，我们就说

为

趋近于

时的无穷小；②另一个过程是

趋近于

时，

趋近于

，即

，我们就说

为

趋近于

时的无穷小。所以我们说

无穷小就是以

为极限的函数。下面介绍一下无穷小的定义：

1.无穷小的定义：设

在

的某去心邻域内有定义（或在

大于某正数时有定义）。如果对任给的正数

，总存在正数

（或正数

），使当

（或

）时，不等式

恒成立，则称

是

（或

）时的无穷小。记作：

（或

）。

比如：① 因为

，所以

是

时的无穷小。

②因为

，所以

是

时的无穷小。

再次强调：无穷小是以

为极限的函数，不能混同于一个很小的数。当然函数

，在

时，也是以

为极限的函数，所以我们说

是一个特殊的无穷小。

那么我们为什么要讨论无穷小呢？请看下面：

2.无穷小与函数极限的关系：

定理1：在

时，有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和；反之，如果函数可以表示成常数和一个无穷小之和，那么这个常数就是函数的极限。

证明：设

，

。令

①，则

，故

。

我们把带有下划线的文字连城一句话：对任给的

，有

，使当

时，

，故

,这不正是无穷小的定义嘛~，所以函数

是

时的无穷小，并且由关系式①有

，所以，有极限的函数

等于它的极限

和一个无穷小之和。这样我们就证明出定理的第一部分，下面证明定理的第二部分：

设

②，其中函数

为

时的无穷小，即

,对于函数

由极限的定义知，

，

，并且根据关系式 ② 知，

，故

。我们把带有下划线的文字连成一句话：对任给的

，有

，使当

时，

。这不正是函数极限的定义嘛~（戳我了解）所以

。这样我们就证明了如果当

函数

可以表示成常数

和一个无穷小之和，那么这个常数

就是函数

在

时的极限。证毕！

对于

的情况，证明方法类似，就不再赘述

二、无穷大

简单来说，无穷大就是无穷小的倒数。也可以说，当

时

的绝对值无限增大，而

无限增大的含义就是

大于事先给定的任意大的正数

。下面我们就给出了无穷大的定义：

1.无穷大的定义:设

在

的某去心邻域内有定义（或在

大于某正数时有定义）。如果对任给的正数

，总存在正数

（或正数

），使当

（或

）时，不等式

恒成立，则称

是

（或

）时的无穷大。

注：如果

是无穷大，按照极限的定义，

是没有极限的，因为它不是无限接近于任何一个固定的常数。但是为了叙述

是无穷大这个事实，有时也说

的极限是无穷大，记作：

同样我们也可以定义正无穷大和负无穷大。

如果在定义中，把

改成

，则可给出正无穷大和负无穷大的定义：

① 正无穷大：设

在

的某去心邻域内有定义（或在

大于某正数时有定义）。如果对任给的正数

，总存在正数

（或正数

），使当

（或

）时，不等式

恒成立，则称

是

（或

）时的正无穷大。

② 负无穷大：设

在

的某去心邻域内有定义（或在

大于某正数时有定义）。如果对任给的正数

，总存在正数

（或正数

），使当

（或

）时，不等式

恒成立，则称

是

（或

）时的负无穷大。

例1.证明

思路：要想证明这个函数是

时的无穷大，我们根据定义，需要任意给定一个正数

（不管它多么大），总能找到

，使当

时，有

，这样就证明了这个函数是

时的无穷大。

证明：

，要使

，只需

，

，

，

。我们把带下划线的文字连成一句话：对任意给定的正数

，存在

，使当

时，有

，这不正是无穷大的定义嘛~所以我们称

是

，时的无穷大，即

。证毕！

值得一提的是：

的图像如下，从图像中可以看出，当

从左侧趋近于

时，函数值趋近于负无穷大；当

从右侧趋近于

时，函数值趋近于正无穷大。所以我们概括说当

趋近于

时，函数

趋近于无穷大。

另外我们把

称为函数

的

铅直渐近线。

2.无穷大和无穷小的关系（互为倒数）：

定理2：在

时，如果

是无穷小，那么

是无穷大；反之，如果

是无穷大，那么

是无穷小。

证明：我们以

的情况为例，证明该定理的第一部分。

设

，

，要使

，只需

，又由于

，根据极限定义，对

（

是任意的，

也是任意喽~），

，

,从而

。把带下划线的文字连成一句话：对任意给定的

，存在

使当

时，

，这不就是无穷大的定义嘛~故

。

下面证明定理的第二部分。

设

，

，令

，由于

，根据无穷大的定义，

，

,从而

。把带下划线的文字连成一句话：对任意给定的

，存在

使当

时，

，这不就是无穷小的定义嘛~故

。证毕！

三、无穷小的性质

1.有限个无穷小的和是无穷小。

证明：设

是

时的无穷小，并设

，

，由

，有

,使当

时，

（不要疑惑，我们可以设

小于任意小的

，也可以设它小于任意小的

，只要保证任意性即可）；又由

，有

,使当

时，

。令

，则当

时，

。把带有下划线的文字连城一句：对任意给定的

，存在

使当

时，

，这不就是无穷小的定义嘛~故

即

是

时的无穷小。证毕！

我们证明了两个无穷小之和为无穷小，同样可以证明有限个无穷小的和是无穷小。

2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小。

证明：设

是

时的无穷小，即

，

在

的

去心邻域

内有界，即

。记

，因为

所以根据极限定义，

，有

，使当

时，有

（不要疑惑，我们可以设

小于任意小的

，也可以设它小于任意小的

，只要保证任意性即可）。取

，把带有下划线的文字连成一句话：对任意给定的

，存在

使当

时，

，这不就是无穷小的定义嘛~故

，即有界函数

与无穷小

的乘积

仍然为

时的无穷小。证毕！

补充：① 常数与无穷小的乘积是无穷小。

这是因为常数本身就是有界函数，而有界函数与无穷小的乘积是无穷小

② 有限个无穷小的乘积是无穷小。

这是因为：假设有两个无穷小

，即

。因为

是无穷小，这就有

(

的极限是

），而一个函数在

的某个去心邻域内有极限必然在

的某个去心邻域内也有界（这在上一讲有证明过，戳我了解）。所以两个无穷小

和

的乘积最终可以转化为有界函数

和无穷小

的乘积，所以两个无穷小乘积仍是无穷小。同理可推，有限个无穷小乘积也仍是无穷小。