python程序判断梅森素数_蓝桥杯每日一题(9):梅森素数(python)

Topic:

假如一个数据的全部真因子之和相当于本身,则称它为“完全数”或“完美数”

比如:6 = 1 + 2 + 3

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

早在公元300很多年,欧几里得就得出了判断完全数的定律:

若 2^n - 1 是素数,则 2^(n-1) * (2^n - 1) 是完全数。

在其中 ^ 表明“乘方”计算,乘方的优先比四则运算高,比如:2^3 = 8, 2 * 2^3 = 16, 2^3-1 = 7

但大家迅速发觉,当n非常大时,判断一个大数是不是为素数到今日也仍然是个难点。

由于法国数学家弗朗克的猜测,大家习惯性上把就像:2^n - 1 的素数称之为:梅森素数。

截至2013年2月,一共只找到48个梅森素数。 近期寻找的梅森素数很大,以致于难以用一般的程序编写构思窥其全景,因此大家把每日任务的难度系数减少一点:

1963年,美国伊利诺伊大学为了更好地留念她们寻找的第23个梅森素数 n=11213,在每一个寄出去的信封袋上面印到了“2^11213-1 是素数”的字眼。

2^11213 - 1 这一数据早已非常大(有3000多名),你要程序编写求出这一素数的十进制表明的最终100位。

Solution:

实际上便是求2^11213 - 1的后一百位

测算出所愿数字转换为字符串类型切成片就可以

Code:

a = str(2 ** 11213 - 1)

print(a[-100:])

Answer:

8586718527586602439602335283513944980064327030278104224144971883680541689784796267391476087696392191

Python中,判断一个数字是否为梅森素数(Mersenne Prime)需要通过一定的算法。梅森素数是指形如\(2^p - 1\)的质数,其中\(p\)也是质数。这里是一个简单的步骤: 1. 定义一个函数,输入是要检查的数\(n\)。 2. 如果\(n = 2\),它是最小的梅森素数,直接返回True。 3. 使用循环,从3开始递增到\(\sqrt{n}\),因为如果\(n\)不是梅森素数,那么它的非平凡因子必然小于等于它的平方根。 4. 对于每个\(i\),计算\(2^i \mod n\),如果结果不为1且不为\(n-1\),说明\(n\)不是梅森素数,返回False。 5. 如果循环结束都没有找到因子,说明\(n\)可能是梅森素数,但仍需确认其\(p\)值是否也质数,这通常需要更复杂的算法(比如埃拉托斯特尼筛法),不过对于大数通常会使用专门的库如`sympy`来进行。 ```python import math def is_mersenne_prime(n): if n < 2: return False elif n == 2: return True elif n % 2 == 0 or not is_prime(math.log2(n) + 1): # 判断指数是否为质数 return False else: sqrt_n = int(math.sqrt(n)) + 1 for i in range(3, sqrt_n, 2): # 只考虑奇数因子 if pow(2, i, n) != n - 1: # 检查能否整除模n return False return True # 辅助函数判断一个数是否为质数 def is_prime(num): if num < 2: return False for i in range(2, int(num**0.5) + 1): if num % i == 0: return False return True # 示例使用 print(is_mersenne_prime(7)) # 输出:True,因为7是梅森素数,2^3 - 1 = 7 ```
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