函数图像的振幅和相位_声子振幅与电子散射矩阵

我们假设声子有力矩阵F，给出动量为k，解出来的声子频率为

，则根据量子力学，声子的能量为

.

假设我们的晶格体系有n*n*n个晶格（取周期性边界条件），力矩阵解出来动量为k的的本征振幅为

，则按照经典振动模型，在第p个格子内的晶格振动位移为

，速度为

，而对于简谐振动来说，在一个周期内，时间对动能的积分和对势能的积分相同，都等于总能量对时间积分的1/2。证明：

将k代入后可知该条成立。因此该晶格振动的动能为

因此总能量为

.

表面看上去声子的能量和

成正比，这导致单声子振幅和

成反比，但是实际上n多了的话，声子的模式数也多了，所以在统计学的意义上，整个物理体系是不变的。

令

可知

.

下面考虑声子对电子的散射过程。

假设在（0,0,0）晶格处的第i个原子的单位位移

对wannier函数的散射为：

（RsRt可以认为有一个范围）

则考虑：

的电子散射过程，为了方便起见，令

其中m,l,p是整数。电子的波函数用wannier函数展开为：

根据动量守恒，声子的动量为

。我们考虑该动量下某个模式下声子的振动模式为：

，则散射后的态为：

采用正频近似，有

为在R处的x_i的哈密顿量。代入后得：

由于

因此：

之中

的成分为：

为了方便起见，我们考虑某个晶格内的波函数是如何被散射的。设该晶格为0晶格，则有R_2=0.这样以来：该晶格的波函数被声子散射后变为：

（上式中R和R_1的范围被限定住了）

令

解得

，可知对

项求和时的相位为：

然后就是和k_2中的波函数解做内积即可求出

散射矩阵元。