集合划分问题算法探讨

原题：

n个元素的集合{1,2,3,..., n }划分非空子集，有多少种分法？

例如，当n=4 时，集合{1，2，3，4}可以划分为15 个不同的非空子集如下：
{{1}，{2}，{3}，{4}}，
{{1，2}，{3}，{4}}，
{{1，3}，{2}，{4}}，
{{1，4}，{2}，{3}}，
{{2，3}，{1}，{4}}，
{{2，4}，{1}，{3}}，
{{3，4}，{1}，{2}}，
{{1，2}，{3，4}}，
{{1，3}，{2，4}}，
{{1，4}，{2，3}}，
{{1，2，3}，{4}}，
{{1，2，4}，{3}}，
{{1，3，4}，{2}}，
{{2，3，4}，{1}}，
{{1，2，3，4}}

 一个子问题，就是n个元素划分成m个子集，有多少种方法？

f(n, m) = { m=1时，=1；n=m时，=1; 其他情况，分为两类：

一类是f(n-1, m)，然后第n个添加到m个分好的当中，为 m*f(n-1, m)；另一类是f(n-1, m-1)，然后第n个独立为一份；

所以f(n, m) = m*f(n-1, m) + f(n-1, m-1)。

就可以编程求出了。可以适当地使用动态规划（或动态规划记表法）来提升效率、减少递归。

 

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