集合划分问题

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作者:小马

思考下面一个问题,

给定正整数n和m，计算出n个元素的集合可以划分为多少个不同的由m(m<=n)个不同的非空子集组成的集合。

 

这类题可以叫做集合划分问题。面试题里经常出现。先来考虑一个问题，这个算法有实际的应用吗？可能用在类似资源分配的例子上，比如有n个资源，m个工程，把这些资源分给不同的工程，需要求出不同的分法，然后计算不同的分法将获得的利润(这个例子似乎有点牵强，谁有更好的请给我留言，谢谢)。

 

解题的思路，一种是分治的思想。把n个元素编号，对於最后那个n号元素，有两种情况:

一种是独立组成一个集合，另一种是和别的元素混在一起。

对於第一种情况，等价于把前n-1个元素分成m-1份，然后n号元素单独放。

对於第二种情况，等价于把前n-1个元素分成m份，然后把n号元素放入这m个集合中的一个（有m种放法）

总数就是

F(n,m) =F(n-1,m-1) + m * F(n-1,m)

 

先想几种极端的情况，

m=n的情况，结果很明显是1。

m=1的情况，结果也是1。

n=1的情况，m只能等于1, 结果也是1。

 

有了上面的思想，基本上基于递归的代码就可以出来了，如下:

 

//基于分治的思想，递归实现
int calculateSet(int n ,int m)
{
	if ((m > n) ||(m == 0))
	{
		return 0;
	}
	else if ((m == 1)||(n==1)||(m == n))
	{
		return 1;
	}
	else
	{
		return (calculateSet(n-1, m-1) + m*calculateSet(n-1, m));
	}
}


int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
	int n1 = 4;
	int m1= 2;

	printf("%d\n", calculateSet(n1,m1));
	return 0;
}