n*n匹马和n赛道，求前k名问题

这个问题的非一般形式在网上有很多的分析，比如http://blog.youkuaiyun.com/hackbuteer1/article/details/7481342、http://liuyangxdgs.blog.163.com/blog/static/2913776320111056839612/。下面将这个问题一般化，进一步分析这类问题的规律，找出一般性的解法。

问题描述：一共有n*n匹马，有一个赛场，赛场有n个赛道，就是说最多同时可以有n匹马一起比赛。假设每匹马都跑的很稳定，不用任何其他工具，只通过马与马之间的比赛，试问最少得比多少场才能找出跑得最快的k匹马。

设f(n,k)表示n*n匹马，n个赛道，要找出前k名所需要比赛的场数。

当k = 1时，即要找出最快的那匹马。很简单，把所有马分成n组，每组各赛一次，选出每组第一名再赛一次，得到的第一名就是最快的马，f(n,k) = n + 1。

当k > 1 && k <= n时，同样将所有马分成n组，g[1], g[2],...,g[n], 每组比赛一次，得到每个组内的排名。不妨设第 i 组的排名就是g[i][1] > g[i][2] > g[i][3] > ... > g[i][n] (实力从强到弱)。再将各组第一名选出来赛一场，不妨设比赛结果为g[1][1] > g[2][1] > g[3][1] > ... > g[n][1]，那么g[1][1]即为第1名。

强    ------->   弱

 |   g1: 1 2 3 4 ... n

 |   g2: 1 2 3 4 ... n

 |   ...

弱  gn: 1 2 3 4 ... n

第2名只能从g[1][2],g[2][1]中选。如果第2名是g[1][2]，那第3名就要从g[1][3]，g[2][1]中选；如果第2名是g[2][1]，那第3名就要从g[1][2]，g[2][2]，g[3][1]中选，这种情况下需要比赛的马更多。一般地，如果第i名(i >= 1 && i <= k)选出的是g[i][1]时，选第i+1名就需要从g[1][2], g[2][2], g[i][2], g[i+1][1]中选，这种情况下选出一个名次所需要参赛的马最多，选第i+1名就需要i+1匹马参赛。于是选第2名，第3名，第4名，...，第k名所需的最多参赛马匹数为2，3，4，...，k。选第2到第k名所需要安排的比赛场数就相当于将质量为2,3,4, ..., k的球放入最大承重为n的桶中，要求按顺序放入，最少需要的桶的个数。比如，k=5, n=5，球重量为2,3,4,5，那么2,3放入一个桶，4，5各放一个桶，需要3个桶。将质量为2到k的球放入承重为n的桶中所需的最少桶数记为w(n,k)，那么 f(n,k) = n + 1 + w(n,k);

当k > n时，每选出一个大于n的名次，就需要n匹马比赛一次，比赛场次数加1。那么 f(n,k) = n + 1 + w(n,n) + k - n;

所以，如果k = 1, f(n,k) = n + 1

        如果k>1 && k <= n, f(n,k) = n + 1 + w(n,k)

        如果k>n, f(n,k) = n + 1 + w(n,k) + k - n

应用：36匹马，6赛道，找出前6名需要的比赛场次为f(6,6) = 6 + 1 + w(6,6)。w(6,6)为将2,3,4,5,6依次放入容量为6的桶需要的最少桶数4。最少需要11场比赛。

 

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