有限域(2)——理想和商环

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　　作者：窗户

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　　我们上一节介绍了环(ring)、域(field)的概念，并给了一些环、域的实例。比如我们知道整数环、方阵环、有理数域、实数域等。我们知道，域是环的一个种。最后，我们讲了素域，并讲了有限素域的构造。

　　接着上一节所讲，我们继续。

　　

　　子环

 

　　环的一个非空子集，如果在加法和乘法上依然是个环，那么就称这个环是原来的环的子环。

　　

　　我们依旧举几个例子，比如：

　　对于有理数域（当然也是一个环），整数环就是它的一个子环；

　　对于整数环，所有偶数依然在加法、乘法下构成一个环（因为任何两个偶数通过加、减、乘得到的还是偶数，对于加、减、乘是封闭的，所以依然是一个环），这个偶数环是整数环的一个子环；

　　对于n阶实数矩阵环，其所有的非对角线上的值全为0的n阶矩阵在矩阵加法、矩阵乘法上也构成了原矩阵环的一个子环，很明显，对于a、b两个矩阵，如果非对角线上为0，那么无论加法、减法还是乘法，得到的结果非对角线上都为0。

 

 

　　理想

 

　　理想(ideal)是一种特殊的子环，在子环的基础上，理想还要满足如下条件：

　　如果B是A的一个理想，那么对于任何a∈A，b∈B，有ab∈B且ba∈B。

　　其中ab和ba是a,b顺序不同的乘法结果（乘法未必可以交换）。

 

　　理想要满足ab∈B和ba∈B。

　　另外引申两个概念：如果满足ab∈B，叫左理想；如果满足ba∈B，叫右理想。

　　

　　很明显，每个环至少有两个理想：一个理想是单个0元所组成的环，因为任何一个元与0元的乘都为0元；另一个是这个环本身。

　　既然这两个理想对于