离散数学之把妹要诀

离散数学课（CSCI 2110）上，讲到一个有趣的问题。

假设有五个男生，五个女生，每个人都在自己心中对五个异性有一定的preference排序，比如：

以上的排序表解读为：男生1最中意女生C，次中意女生B，次次中意女生E……

以此类推……

在五男五女全部成功脱光之后（假设都在圈子内部解决），定义一个unstable matching为：如果存在一对不是情侣的男女符合以下情况：

对于该男，该女在他的preference列表中处于现任女友的前面，对于该女，该男在他的preference列表中亦处于现任男友的前面，那么这对男女必然有私奔的倾向……

这样的情景即为unstable matching。反之，若不存在这样一对有私奔倾向的男女，即为stable matching。

问题是：是否在任何情况下，即不论各位的preference列表如何变化，只要男女数量相同，总是存在一个stable matching。 （当然，搅基之类的，是不可以的……）

在上面五男五女的例子里，一种stable matching如下：

因为每个女生最中意的男生都不同，所以只要让女生们都选择跟自己最中意的男生在一起，她们就都不会有和其他男生私奔的想法。虽然男生们会表示略苦逼啊！仍然不失为一个stable matching……。

那么如果有n男n女，每个人心中都已经有了一个preference 列表，stable matching是不是一定存在呢？

1962年，Gale 和 Shapley 证明了stable matching是一定存在的。

首先他们给出了一个算法：

第一天早上：所有男生都向自己最中意的女生表白。

第一天中午：每个女生都被表白了n次（可能是0次）之后，拒绝了相对不太中意的那n-1位，hold住其中最中意的那位……即暂时不答应也不拒绝

第一天晚上，被拒绝的男生们在自己的preference列表中划掉了那个拒绝他的人……

第二天早上：所有没有被hold住的男生都向自己最中意的女生（无视已经被划掉的）表白。

第二天中午：女生们在那些向她表白的男生和已经hold住的那男生中选择最中意的一位，拒绝掉其他的。

第二天晚上：被拒绝的男生们在自己的preference列表中划掉拒绝了自己的人……

第三天，重复同样的过程……

第四天……

…………

这样的过程是有限的，不会一直循环下去。（Claim 1）

在这样的过程结束之后，每个女生都会hold住一个男生。（Claim 2）即在那一天之后没有男生可以继续表白了，这时女生们终于都向那个男生说了yes！

按照这样的过程，最后不会存在一对男女有私奔倾向（Claim3）

即完成了stable matching。

关于Claim1， Claim2， Claim3的证明，有兴趣的同学可以参考这里

下面是我们的关键问题：

在这样男生主动的算法中，占了优势的是男生还是女生呢？

表面上，男生略苦逼：要么被拒绝，要么被hold住还不知道是不是第二天就会被拒绝；女生则有着充分的选择权，享受着众星捧月的优越感，而且最差情况下到头来还是会有个伴儿也不至于孤家寡人……。。

但是实际上，占了优势的却是男生！

对于男生，

设最后他的女友是在他当初的preference列表的第i位，那么在i位之前的那些女生，他是怎么追也追不到的：

因为即使追到（即该女生一时糊涂答应了），

那么那个女生（记为Y）也必然会有比他心仪的对象另一男X（因为既然是一时糊涂，表明在当时的情况下有更心仪的男生已经向她表白），

而男X既然在当时向该女生表白，表明在Y之前的女生都拒绝了他，而如果Y也拒绝了他，他最后在一起的女生必定排在Y之后。

所以，X和Y是注定要私奔的！

所以嘛，男生没有追到的那些女生，都是命中不该有不可强求的……即他最后追到的女生是他最好的选择了……

对于女生：

设最后她的男友在她当初的preference列表的第i位，那么在i位之前的那些男生，都是还没机会向她表白就被其他女生hold住的，也就是说，她永远也等不到的最好的，多苦啊……

实际上，还可以证明，这个男友是在所有的stable matching中她能得到的最差的选择。

如果她选择了i+1，也就是拒绝了i，那么i最后只能跟不如她的女生（在i眼中）在一起。

而i+1也是不如i的，那么最后她还是要和i私奔。

即：若她选择了（在她眼中的）更差的男生，最后的配对就是unstable matching了，所以，没办法更差了！这已经是最差了有木有啊！

综上，我们惊奇地发现，男生追到的女生，是他最好的选择。

女生接受的男生，是她最差的选择。

如果情况相反，即女生主动追求男生，那么结论也会相反。

这个事实教导我们，主动表白是多么重要啊！

但是……

羞涩的女生如果不愿主动表白，还是有机会避免这种最差结果的。这时候，撒点小谎就显得非常重要……。

假设一个简单的情境，4 V 4 好了。

男1：BADC A女：1234

男2：ABCD B女：2143（红色是在第一天表白的）

男3：BCAD C女：3241

男4：ADBD D女：4231

按照Gale Shapley算法，

第一天，男1和男3向B女表白，男2和男4向A女表白。

A女喜欢2胜过喜欢4，但是她对2说谎了（“不，我不爱你……”）她拒绝了2

B女喜欢1胜过喜欢3，但是她对1说谎了，她拒绝了1

于是第二天早上，被拒的男1向A女表白，同时男2向B女表白……。。

最后的结果是：

1-A

2-B

3-C

4-D

女生们最终都得到了最佳选择。

以上的事实教导我们，当女生拒绝你的时候，可能她不是真的不喜欢你（至少在当时），所以……一切死缠烂打都是有理论依据滴，不可等同于耍流氓……

最后，如果是男生撒谎（即不按preference列表来表白，不能否认这样的2B青年的存在），他最终能不能交到更加心仪的女友呢？答案是不能。撒谎只会让男生交到在男生心目中排得更靠后的女生。原因不难分析，同学们可以自行尝试。结论是：对于主动的一方，真诚和坦白是保证得到最优选所必需的……