陶哲轩实分析引理 11.1.4

  设$X$是实直线的子集合，那么下述两命题是逻辑等价的.

  (a)$X$是有界的并且是连通的.

  (b)$X$是有界区间.

  证明:当$X$是空集时，两个命题显然是逻辑等价的.


  当$X$是非空集合时，


(a)$\Rightarrow$(b):由于$X$非空，且$X$有界，因此$X$有上确界$\sup (X)$和下确界$\inf(x)$.当$\sup (X)=\inf(X)$时，易得$X$是单点集，此时$X$是有界区间.当$\sup(X)>\inf(X)$时，

若$\sup(X),\inf(X)\in X$,则根据连通的定义可知$[\inf X,\sup(X)]\subseteq X$.且易得$X\subseteq [\inf X,\sup X]$.因此$X=[\inf X,\sup X]$,可见，$X$是有界区间.

若$\sup (X)\not\in X,\inf (X)\in X$,则易得$[\inf X,\sup X)\subseteq X$(为什么?),且易得$X\subseteq [\inf X,\sup X]$,因此$[\inf X,\sup X)=X$.
   
若$\sup X\not\in X,\inf X\not\in X$,易得$X=(\inf X,\sup X)$(为什么?).

若$\sup X\in X,\inf X\not \in X$,易得$X=(\inf X,\sup X]$.


 (b)$\Rightarrow $(a)是容易的.

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