NTT

最新推荐文章于 2024-05-15 21:23:38 发布
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原文链接：http://www.cnblogs.com/chensiang/p/7850918.html
本文探讨了快速数论变换的相关内容，并提到了由于快速傅里叶变换（FFT）存在的精度问题，快速数论变换成为了一个重要的研究方向。

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快速数论变换..因为FFT有精度问题 坑待填

转载于:https://www.cnblogs.com/chensiang/p/7850918.html

NTT简介
forezxl的博客
08-30 3447
算法用途 多项式乘法系数取模。 前置知识 原根，FFT。 原根 阶：若(a,p)=1(a,p)=1(a,p)=1，则满足ar≡1(modp)ar≡1(modp)a^r \equiv 1 (\mod p)的最小的rrr被称为aaa模ppp的阶。 原根：如果r=φ(p)r=φ(p)r=\varphi(p)，则称aaa为modpmodp\mod p意义下的原根。 原根有一个判定方法：把...
任意模数ntt_MTT：任意模数NTT
weixin_36484714的博客
01-17 793
MTT：任意模数NTT概述有时我们用FFT处理的数据很大，而模数可以分解为\(a\cdot 2^k+1\)的形式。次数用FFT精度不够，用NTT又找不到足够大的模数，于是MTT就应运而生了。MTT没有模数的限制，比NTT更加自由，应用广泛，可以用于任意模数或很大的数。MTTMTT是基于NTT的，其思想很简单，就是做多次NTT，每次使用不同的素数，然后使用CRT合并解，在合并的过程中模最终模数，或是...
任意模数NTT（MTT）
zhouyuheng2003的博客
01-02 7809
前言 众所周知，NTT有几个经典的模数：469762049,998244353,1004535809469762049,998244353,1004535809469762049,998244353,1004535809 为什么这些模数被称为NTT模数呢？因为他们都是这样一个形式： P=2a∗X+1P=2^a*X+1P=2a∗X+1 为什么要有这样一个条件呢，因为只有这样，才能找到所需的原根 所以...
NTT笔记
WerChange的OI博客
05-04 440
笔记——算法篇
AtCoder Beginner Contest 315 Ex. Typical Convolution Problem(分治NTT/全在线卷积)
小衣同学的博客
09-04 278
1. [l,mid]=[0,1]，[mid+1,r]=[2,3]，那么右半边f2会加上。2. [l,mid]=[5,6]，[mid+1,r]=[7,8]，那么右半边f7会加上。左边两个下标最小，右边下标最大，也就是l+l=r-1，满足2*l
任意模数ntt_任意模数NTT
weixin_29941275的博客
01-17 188
给定两个多项式\(f(x),g(x)\)，求\(h(x)=f(x)*g(x)\)对\(p\)取模，\(p\)不保证可以分解成\(a*2^k+1\)三模NTT由于模数不满足有原根，我们可以找几个有原根的模数，求出结果再\(crt\)合并一下考虑卷积后数字最大能达到\(p*p*len\)，一般是\(10^9*10^9*10^5=10^{23}\)，所以我们选择模数之积应该大于\(10^{23}\)一般...
NTT多项式乘法
qq_73631501的博客
05-15 393
注意点：求高精度乘法取余进位的步骤需要在a数组全都除以n（乘完逆元）之后再进行。对于点值转系数表达式的时候，的倍数），由于是取模操作，所以除以。是最小的比两个多项式幂和的。
任意模数ntt_【模板篇】NTT和三模数NTT
weixin_42179184的博客
02-22 544
之前写过FFT的笔记. 我们知道FFT是在复数域上进行的变换.而且经过数学家的证明, DFT是复数域上唯一满足循环卷积性质的变换.而我们在OI中, 经常遇到对xxxx取模的题目, 这就启发我们可不可以在模运算的意义下找一个这样的变换.然后我们发现有个神奇的东西, 原根\(g\), 这东西在模意义下相当于单位复根\(-e^{\frac{2\pi i}{n}}\).所以我们预处理一下\(g\)的幂和逆...
NTT.rar_NTT_NTT c++_NTT%20c%2B%2B_nttc++_快速数论变换
09-20
快速数论变换（Fast Number Theoretic Transform, NTT）是一种在数论背景下进行的高效算法，主要用于在有限域上进行大规模的线性运算，如乘法、卷积等。与快速傅里叶变换（FFT）类似，NTT在计算速度上具有显著优势，...
david harvey NTT
11-18
【David Harvey NTT】报告详解：提升数论变换计算效率 在本文中，我们将深入探讨如何提高基于有限域F_p上快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）的计算效率，其中p是一个字长素数。关键在于优化基本算术...
基于FPGA的有限域NTT算法设计与实现.pdf
07-13
根据提供的文件内容，本文将介绍基于FPGA的有限域NTT算法设计与实现的相关知识点。 首先，NTT（Number Theoretic Transform）算法是一种在有限域上执行快速傅里叶变换（FFT）的技术。在公钥加密系统中，大数乘法是...
NTT-TEST
03-29
"NTT-TEST"可能是一个项目或者测试框架的名称，这通常表示它与网络通信、测试技术或者特定的NTT(可能指的是日本电信电话公司NTT)相关的应用场景有关。下面我们将深入探讨C#在这些领域的应用和相关知识点。 1. **C#...
使用数字理论变换将数字相乘：使用数字理论变换（NTT）将非常大的数字（十六进制或十进制）有效地相乘-matlab开发
05-28
使用数论变换（NTT）的大数乘法器。 快速将两个大数字（十六进制数或十进制数）一起相乘（小于约500,000（32位段）。multiple（）函数的输入必须是长度至少为6个字符的十六进制或十进制字符数组。每个字符最多为400...
qt5-qtcanvas3d-5.12.5-3.el8.tar.gz
08-19
# 适用操作系统：Centos8 #Step1、解压 tar -zxvf xxx.el8.tar.gz #Step2、进入解压后的目录，执行安装 sudo rpm -ivh *.rpm
sox-14.4.2.0-29.el8.tar.gz
08-19
# 适用操作系统：Centos8 #Step1、解压 tar -zxvf xxx.el8.tar.gz #Step2、进入解压后的目录，执行安装 sudo rpm -ivh *.rpm
【直流微电网】基于预设性能控制的DC/DC升压转换器复合控制策略设计：稳定恒功率负载电压跟踪（含详细代码及解释）
08-19
内容概要：本文围绕直流微电网中带有恒功率负载(CPL)的DC/DC升压转换器的稳定控制问题展开研究，提出了一种复合预设性能控制策略。首先，通过精确反馈线性化技术将非线性不确定的DC转换器系统转化为Brunovsky标准型，然后利用非线性扰动观测器评估负载功率的动态变化和输出电压的调节精度。基于反步设计方法，设计了具有预设性能的复合非线性控制器，确保输出电压跟踪误差始终在预定义误差范围内。文章还对比了多种DC/DC转换器控制技术如脉冲调整技术、反馈线性化、滑模控制(SMC)、主动阻尼法和基于无源性的控制，并分析了它们的优缺点。最后，通过数值仿真验证了所提控制器的有效性和优越性。 适合人群：从事电力电子、自动控制领域研究的学者和工程师，以及对先进控制算法感兴趣的研究生及以上学历人员。 使用场景及目标：①适用于需要精确控制输出电压并处理恒功率负载的应用场景；②旨在实现快速稳定的电压跟踪，同时保证系统的鲁棒性和抗干扰能力；③为DC微电网中的功率转换系统提供兼顾瞬态性能和稳态精度的解决方案。 其他说明：文中不仅提供了详细的理论推导和算法实现，还通过Python代码演示了控制策略的具体实现过程，便于读者理解和实践。此外，文章还讨论了不同控制方法的特点和适用范围，为实际工程项目提供了有价值的参考。
光学成像基于偏振敏感强度衍射断层扫描的三维各向异性成像技术研究：PS-IDT在复杂散射样品中的应用与优化（含详细代码及解释）
最新发布
08-19
内容概要：该论文介绍了一种名为偏振敏感强度衍射断层扫描（PS-IDT）的新型无参考三维偏振敏感计算成像技术。PS-IDT通过多角度圆偏振光照射样品，利用矢量多层光束传播模型（MSBP）和梯度下降算法迭代重建样品的三维各向异性分布。该技术无需干涉参考光或机械扫描，能够处理多重散射样品，并通过强度测量实现3D成像。文中展示了对马铃薯淀粉颗粒和缓步类动物等样品的成功成像实验，并提供了Python代码实现，包括系统初始化、前向传播、多层传播、重建算法以及数字体模验证等模块。 适用人群：具备一定光学成像和编程基础的研究人员，尤其是从事生物医学成像、材料科学成像领域的科研工作者。 使用场景及目标：①研究复杂散射样品（如生物组织、复合材料）的三维各向异性结构；②开发新型偏振敏感成像系统，提高成像分辨率和对比度；③验证和优化计算成像算法，应用于实际样品的高精度成像。 其他说明：PS-IDT技术相比传统偏振成像方法具有明显优势，如无需干涉装置、无需机械扫描、可处理多重散射等。然而，该技术也面临计算复杂度高、需要多角度数据采集等挑战。文中还提出了改进方向，如采用更高数值孔径（NA）物镜、引入深度学习超分辨率技术等，以进一步提升成像质量和效率。此外，文中提供的Python代码框架为研究人员提供了实用的工具，便于理解和应用该技术。
ntt优化
08-15
### NTT 数论变换的优化方法与实现细节 快速数论变换（NTT）是离散傅里叶变换（DFT）的一种快速算法，其时间复杂度为 $ O(n \log n) $，适用于模数下的多项式运算。NTT 的核心思想是通过模数运算来替代复数运算，从而避免浮点数精度问题。 #### 1. NTT 的基本性质 NTT 的实现依赖于模数下的原根 $ g $，它满足以下性质： - $ g^n = 1 $ - $ g^k \neq 1 $，当 $ 0 < k < n $ 这些性质确保了 $ g $ 可以作为 NTT 中的单位根 $ \omega_n $，类似于 FFT 中的复数单位根。NTT 的核心公式为： $$ A_k = \sum_{i=0}^{n-1} a_i g^{\frac{i(n-k)}{n}} \mod p $$ 其中 $ p $ 是一个大质数，且 $ n $ 是 $ p-1 $ 的因数[^1]。 #### 2. NTT 的优化方法 为了提高 NTT 的性能，通常采用以下几种优化策略： ##### 2.1 蝴蝶变换（Butterfly Operation） 蝴蝶变换是 NTT 的关键优化点之一，它通过分治策略将递归层数优化为 $ O(\log n) $ 层。每一层的计算可以通过以下公式实现： $$ x_i = a_i + a_{i+n/2} $$ $$ x_{i+n/2} = (a_i - a_{i+n/2}) \cdot \omega_n^k $$ 其中 $ \omega_n^k $ 是当前层的单位根。这种变换减少了重复计算，并且可以利用位反转排列来优化内存访问。 ##### 2.2 位反转排列（Bit-Reversal Permutation） 在 NTT 中，输入序列通常需要进行位反转排列，以确保每一层的计算可以并行进行。位反转排列的核心思想是将索引的二进制表示反转，并重新排列数组。例如，索引 $ 0, 1, 2, 3 $ 在反转后变为 $ 0, 2, 1, 3 $。 ##### 2.3 模数选择 NTT 的性能还依赖于模数 $ p $ 的选择。常见的模数包括 $ p = 998244353 $，因为它是一个大质数，并且 $ p-1 $ 是 $ 2^{23} $ 的倍数，适合处理 $ n $ 为 $ 2^k $ 的情况。选择合适的模数可以确保 NTT 的高效性，并且避免溢出问题。 #### 3. NTT 的实现细节 NTT 的实现通常包括以下几个步骤： ##### 3.1 预处理单位根 在 NTT 开始之前，需要预先计算单位根 $ \omega_n^k $ 及其逆元 $ \omega_n^{-k} $。单位根的计算可以通过原根 $ g $ 实现： $$ \omega_n = g^{\frac{p-1}{n}} $$ $$ \omega_n^{-1} = g^{p-1 - \frac{p-1}{n}} $$ ##### 3.2 递归与迭代实现 NTT 可以通过递归或迭代的方式实现。递归实现较为直观，但迭代实现通常更高效，因为它避免了递归调用的开销。迭代实现通常使用位反转排列来优化内存访问。 ##### 3.3 逆变换 NTT 的逆变换可以通过以下公式实现： $$ a_i = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} A_k \omega_n^{-ki} \mod p $$ 其中 $ \frac{1}{n} $ 可以通过模逆元计算得到。 #### 4. NTT 的算法改进 为了进一步优化 NTT，可以采用以下改进策略： ##### 4.1 多模数 NTT 多模数 NTT 通过结合多个模数的结果来处理更大的数域，避免单个模数的限制。这种方法通常需要使用中国剩余定理（CRT）来合并结果。 ##### 4.2 混合 NTT 混合 NTT 结合了 NTT 和 FFT 的优点，利用 FFT 的浮点运算和 NTT 的整数运算，以提高精度和性能。 ##### 4.3 并行化 NTT 的每一层计算可以并行化，利用多线程或 GPU 加速来提高性能。例如，使用 OpenMP 或 CUDA 来并行化蝴蝶变换。 #### 示例代码 以下是一个简单的 NTT 实现： ```cpp #include <vector> #include <iostream> using namespace std; const int MOD = 998244353; const int G = 3; int power(int a, int b, int mod) { int res = 1; while (b) { if (b & 1) res = 1LL * res * a % mod; a = 1LL * a * a % mod; b >>= 1; } return res; } void ntt(vector<int> &a, int inv) { int n = a.size(); vector<int> b = a; for (int i = 0; i < n; i++) { int rev = 0; for (int j = 0; j < 20; j++) { if (i & (1 << j)) rev |= (1 << (19 - j)); } if (i < rev) a[i] = b[rev]; } for (int len = 2; len <= n; len <<= 1) { int wn = power(G, (MOD - 1) / len, MOD); if (inv == -1) wn = power(wn, MOD - 2, MOD); for (int i = 0; i < n; i += len) { int w = 1; for (int j = 0; j < len / 2; j++) { int x = a[i + j]; int y = 1LL * a[i + j + len / 2] * w % MOD; a[i + j] = (x + y) % MOD; a[i + j + len / 2] = (x - y + MOD) % MOD; w = 1LL * w * wn % MOD; } } } if (inv == -1) { int inv_n = power(n, MOD - 2, MOD); for (int i = 0; i < n; i++) { a[i] = 1LL * a[i] * inv_n % MOD; } } } ```
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