背包学习————完全背包

有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

1：f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k*c[i]<=v}

2:f[v]=max(f[v],f[v-c[i]]+w[i]);

完全背包面临的不是对于第i件物品选不选的问题了而是选多少件了问题了。。。所以f[v]的当前状态允许由当前状态推得。

实现方法有是那种

1：o(n*v)

这里正确理解这句经典的话很关键（引用）：

换句话说，这正是为了保证每件物品只选一次，保证在考虑“选入第i件物品”这件策略时，依据的是一个绝无已经选入第i件物品的子结果f[i-1][v-c[i]]。而现在完全背包的特点恰是每种物品可选无限件，所以在考虑“加选一件第i种物品”这种策略时，却正需要一个可能已选入第i种物品的子结果f[i][v-c[i]]，所以就可以并且必须采用v=0..V的顺序循环。这就是这个简单的程序为何成立的道理。

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1114

View Code

#include <iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define N  10007
#define inf 9999999
int c[N],w[N],f[N];

int main()
{
int t,n,i,j,V;
int s,e;
    scanf("%d",&t);
while(t--)
    {
        scanf("%d%d",&s,&e);
        V=e-s;
for(i=1;i<=V;i++)
        f[i]=inf;
        f[0]=0;
        scanf("%d",&n);
for(i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d%d",&w[i],&c[i]);
for(i=1;i<=n;i++)
        {
for(j=c[i];j<=V;j++)
            f[j]=min(f[j],f[j-c[i]]+w[i]);
        }
if(f[V]!=inf)
        printf("The minimum amount of money in the piggy-bank is %d.\n",f[V]);
else
        printf("This is impossible.\n");

    }
return 0;
}

2:转化成01背包每种物品是一个01背包的方法：

View Code

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int max_s = 100007;
const int inf = 9999999;
int c[max_s],w[max_s],f[max_s];
int main()
{
int i,j,k,n,m,V,t,num;
    scanf("%d",&t);
while(t--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        V=m-n;
        scanf("%d",&num);
for(i=0;i<num;i++)
        scanf("%d%d",&w[i],&c[i]);
        f[0]=0;
for(i=1;i<=V;i++)
        f[i]=inf;
for(i=0;i<num;i++)
        {
for(j=1;j<=V/c[i];j++)
            {
for(k=V;k>=c[i];k--)
                f[k]=min(f[k],f[k-c[i]]+w[i]);
            }
        }
if(f[V]!=inf)
        printf("The minimum amount of money in the piggy-bank is %d.\n",f[V]);
else
        printf("This is impossible.\n");
    }
return 0;
}

3：利用二进制思想；

把第i种物品拆成费用为c[i]*2^k、价值为w[i]*2^k的若干件物品，其中k满足c[i]*2^k<=V。这是二进制的思想，因为不管最优策略选几件第i种物品，总可以表示成若干个2^k件物品的和。这样把每种物品拆成O(log V/c[i])件物品，是一个很大的改进。（本人不大理解望大牛指点）未发现实现代码。。求解。。