陶哲轩实分析 推论 7.5.3 (比例判别法) 证明

设$\sum_{n=m}^{\infty}a_n$是元素不为零的级数.

 

(a)如果$\limsup_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|<1$,则级数绝对收敛.

证明：令$\alpha=\limsup_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|$.存在整数$N$,使得$(|\frac{a_{n+1}}{a_n}|)_{n=N}^{\infty}$中的每一个元素都不大于$\frac{\alpha+1}{2}$.所以$\sum_{n=N}^M|a_n|\leq|a_N|\sum_{n=0}^{M-N}(\frac{\alpha+1}{2})^n$.因此$\sum_{n=N}^{\infty}|a_n|$收敛.

 

(b)如果$\limsup_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|>1$,则级数条件发散.

证明：此时，$(|a_n|)_{n=m}^{\infty}$存在发散子列，因此级数条件发散

 

(c)其它情况下，我们还无法断定什么.

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