POJ-3252 Round Numbers 组合数学

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原文链接：http://www.cnblogs.com/Lyush/archive/2012/08/12/2634258.html

本文介绍了一种算法，用于计算指定范围内二进制表示中0的数量多于1的数量的整数个数。通过递归划分区间并利用组合数学的方法，实现了高效计算。

该题题意是要求给定a,b区间内有多少个数满足二进制表示法内0的数目多余1的数目。详见代码：

#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

int c[40][40];

void pre()
{
    c[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= 30; ++i) {
        c[0][i] = 1;
        for (int j = 1; j <= 30; ++j) {
            c[j][i] = c[j][i-1] + c[j-1][i-1];
        }
    }
}

int deal(int x)
{
    // 首先找出第一个1的位置，例如100110，那么我们应该先计算 [0, 11111] 之间的满足要求的数，这些的特征
    // 使得他们被划分至同一类，其特征为长度是变化的，从长度为1变化到6
    if (x <= 1) return 0;
    int pos, ret = 0;
    for (int i = 30; i >= 0; --i) {
        if ((1 << i) & x) {
            pos = i;
            break;
        }
    }
//    printf("pos = %d\n", pos);
    // 首个1出现在pos+1的位置，设x为100110，那么pos = 5，我们枚举长度为5,4,3,2的合法的数 
    for (int i = pos; i >= 2; --i) {
        for (int j = (i+1) >> 1; j <= i-1; ++j) {// 长度为5，那么最高位一定为1，所以剩下的四位的零的个数应该是要大于1的个数的    
            // 留下来的pos-1个位置至少要放置(pos+1)/2 个0，至多放置pos-1个0
        //    printf("%d %d\n", j, i-1);
            ret += c[j][i-1];
        }
    }
//    printf("ret = %d\n", ret);
    // 接下来就是统计长度稳定的区间[100000, 100110]，对于区间中的每一个1我们又是可以将其划分成更小的区间进行求解
    // 例如我们可以将其划分为[100000, 100011], [100100, 100101], [100110, 100110]，之所以这样划分，是因为这样可以
    // 得到一个区间，其变化特征就是1后面的若干位的变化时完备的，这里还需要统计1的个数，这样才能确定后面的0的取数 
    int one = 1, zero, k;
    for (int i = pos-1; i >= 0; --i) {  // 枚举首位后面的1
        if ((1 << i) & x) { // 一共有i个位是能够完备的枚举的 
            zero = pos+1-i-one;
            k = max(0, (i+one-zero+1)>>1);
            for (int j = k; j <= i; ++j) {
                ret += c[j][i];    
            }
            ++one;
        }
    } // 这个数本身我们是不会计算的，因为我们每碰到一个1，都会先将其设为0求解，所以我们干脆就直接把区间都加1 
    return ret;
}

int main()
{
    int a, b;
    pre();
    while (scanf("%d %d", &a, &b) == 2) {
        printf("%d\n", deal(b+1) - deal(a));
    }
    return 0;    
}

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