1059 Prime Factors

题意：

给出一个int型正整数N，要求把N分解成若干个质因子，如N=97532468，则把N分解成：97532468=2^2*11*17*101*1291。质因子按增序输出，如果某个质因子的幂是1，则1不输出。

思路：质因子分解的基础题。

首先，定义如下因子的结构体，用于存放最终的结果。因为N是一个int范围的正整数，由于2*3*5*7*11*13*17*19*23*29>INT_MAX，也就是说，任意一个int型整数，可分解出来的不同的质因子的个数不会超过10个，因此，数组只要开到10就够了。

struct Factor{
    int fac;//质因子
    int cnt;//质因子出现的次数
}factor[10];

在对正整数N进行分解之前，首先要获取素数表，令其存在数组prime中，这样一来，则逐个判断这个prime数组中的素数，若整除，则一直用N除以当前这个素数，记录这个素数出现的次数，除到不能整除为止，再进入下一个素数的判断。

但是，如果我们要求N=2,147,483,647(INT_MAX)的质因子呢？难道需要求出所有整型的素数吗？这样做当然没有错，但却会超时（判断素数的时间复杂度是O(sqrt(N))，枚举获取1~N的全部素数的时间复杂度是O(N)，因此总的时间复杂度是O(N*sqrt(N))，若N>10^5基本就超时了），事实上，对于质因子分解，需要明白这样一个事实——

对于任何一个整数，如果它是素数，则不可被分解，因子只有1和其本身；如果它是合数，则除了1和本身之外，它的因子必然是在sqrt(n)两侧成对出现的，此时，这些质因子要么全部小于等于sqrt(n)；要么只存在一个质因子大于sqrt(n)，而其他质因子全部小于等于sqrt(n)。基于此，我们考虑，int型的最大值是2,147,483,647，而sqrt(2,147,483,647)≈46,341，根据刚才所说的结论，也就是说一个int型整数若不能被46341以内的素数整除的话，说明因子就是其本身了。因此，我在获取素数表的getPrime()函数中直接硬编码了。

代码：

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <vector>
using namespace std;

struct Factor{
    int fac;//质因子
    int cnt;//质因子出现的次数
}factor[10];

vector<int> prime;//素数表

//判断素数
bool isPrime(int n)
{
    if(n<=1) return false;
    int sqr=(int)sqrt(n);
    for(int i=2;i<=sqr;i++)
        if(n%i==0) return false;
    return true;
}

//获取素数表,打表思想
void getPrime()
{
    for(int i=2;i<50000;i++)
        if(isPrime(i)) prime.push_back(i);
}

int main()
{
    int val;
    scanf("%d",&val);
    getPrime();
    int temp=val;
    int len=0;//factor数组的长度
    for(int i=0;i<prime.size();i++){
        int p=prime[i];
        if(temp%p==0){
            factor[len].fac=p;
            factor[len].cnt=0;
            while(temp%p==0){
                factor[len].cnt++;
                temp/=p;
            }
            len++;
            if(temp==1) break;//表示除尽
        }
    }
    if(temp!=1){//考虑存在因子大于sqrt(n)的情况（有可能是素数，有可能不是素数，如9998=2*4999）
        factor[len].fac=temp;
        factor[len].cnt=1;
        len++;
    }
    printf("%d=",val);
    if(val==1) printf("1");
    for(int i=0;i<len;i++){
        printf("%d",factor[i].fac);
        if(factor[i].cnt>1) printf("^%d",factor[i].cnt);
        if(i<len-1) printf("*");
    }
    return 0;
}

 

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