陶哲轩实分析习题8.5.6

设$X$是一个偏序集，对于任何$x\in X$,定义序理想$(x)$为集合

$$(x):=\{y:y\preceq x\}$$
设$(X):=\{(x):x\in X\}$是全体序理想的集合.并设$f:X\to (X)$是映射$f(x):=(x)$,它把每个元素映成它的序理想.证明$f$是双射.并且对任给的$x,y$,$x\preceq_X y$当且仅当$f(x)\subset f(y)$.

证明：先证明$f$是单射.即证$m\neq n$时，$\{x:x\preceq m\}\neq \{x:x\preceq n\}$.因为假若相等则$m\in\{x:x\preceq n\}$.则$m\prec n$.则$n\not\in \{x:x\preceq m\}$，与假设$\{x:x\preceq m\}=\{x:x\preceq n\}$矛盾.

再证明$f$是满射.这是很容易的，对于任意$\{x:x\preceq m\}$来说，可以用$m$对应它.

 

下面证明第二点.$x\preceq _X y$时，显然$\{m:m\preceq x\}\subset\{m:m\preceq y\}$.当$\{m:m\preceq x\}\subset\{m:m\preceq y\}$时，因为$x\in\{m:m\preceq x\}$,所以$x\in\{m:m\preceq y\}$,即$x\preceq y$.$\Box$

 

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