题解 BZOJ 1002 【[FJOI2007]轮状病毒】

最新推荐文章于 2025-09-06 22:33:46 发布

powerx_yc

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CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：数据结构与算法

原文链接：https://yq.aliyun.com/articles/609521

本文介绍了一种在没有明确解题思路的情况下，通过观察规律和数值模拟来猜测递推公式的方法。该方法适用于某些组合计数问题，文中通过一个具体的题目实例展示了如何手动模拟并找到递推关系。

题目链接

emm……

正解：矩阵树定理，但是本宝宝不会求基尔霍夫矩阵。

开始考场方法：

手动模拟$n=1--5$时的答案（数不大，~~画画就出来了~~要画上半个小时）。

画出来，答案是这样的：$1$ $5$ $16$ $45$ $121$

然后简单根据题目出处和难度蒙了一下感觉第$n$项的答案和$n-1$,$n-2$的答案有关。

再看看增长率$(\frac{ans[n-1]}{ans[n-2]})$大概是$2--3$之间，并且比较靠近三。

于是，就想 $ans[n]$ $=$ $ans[n-1]*3$ $±$ $……$

又因为差的不是一个常数，所以
$ans[n]$ $=$ $3*ans[n-1]-ans[n-2]$ $±$ $……$

之后，惊喜的发现每个$ans[n]$ 与 $3*ans[n-1]-ans[n-2]$ 都差$2$。

最终，蒙了一个表达式：$ans[n]=$ $3*ans[n-1]-ans[n-2]+2$

看数据范围，需要高精。

之后一脸懵逼的$AC$了。

代码附上：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
//F(n)=3*F(n-1)-F(n-2)+2,F(1)=1,F(2)=5.;
int ans[103][10010];
int len[103];
int mul[10010];
void pluse(int x)
{
    int m=x-2;
    int n=x-1;
    int cnt=0;int l=len[n];
    for(int i=1;i<=l;i++)
    {
        mul[i]=(ans[n][i]*3+cnt)%10;
        cnt=(ans[n][i]*3+cnt)/10;
    }
    if(cnt!=0) mul[++l]=cnt;
    
    cnt=2;
    for(int i=1;i<=l;i++)
    {
        ans[x][i]=(mul[i]-ans[m][i]+cnt+100)%10;
        if(mul[i]-ans[m][i]+cnt<0) cnt=-1;
        else cnt=(mul[i]-ans[m][i]+cnt)/10;
    }
    if(cnt!=0) ans[x][l+1]=cnt,len[x]=l+1;
    else len[x]=l;
    return ;
}
int n;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    ans[1][1]=1;len[1]=1;
    ans[2][1]=5;len[2]=1;
    for(int i=3;i<=n;i++) pluse(i);
    for(int i=len[n];i>=1;i--) printf("%d",ans[n][i]);
    return 0;
}