矩阵

矩阵的概念

在数学中，矩阵（Matrix）是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。

矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。关于矩阵相关理论的发展和应用，请参考矩阵理论。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。

元素是实数的矩阵称为实矩阵,

元素是复数的矩阵称为复矩阵。

第二讲 矩 阵

一、矩阵的概念及其基本运算

1. 矩阵及其表示 

基本矩阵:

行矩阵 

列矩阵 

零矩阵 

负矩阵 

方阵 

特殊矩阵:

可交换矩阵 

例如: 数量矩阵与任何同阶方阵都是可交换矩阵, 即

秩1矩阵 例如: 不为零的行矩阵和列矩阵

, 其中

2. 基本运算及其运算规律

相等 

 (交换律）

 (传递律）

加法 

 (交换律）

(结合律)

 (零矩阵的作用)

数乘法 

（分配律）

乘法  （其中）

（结合律）

（结合律）

（左分配律）

（右分配律）

（单位矩阵的乘法作用）

 (零矩阵的乘法作用)

矩阵的转置 

* 相等与加法运算的条件

* 乘法运算的条件

* 乘法没有交换律

消去律

幂零律 (例如: )

3. 矩阵应用

用矩阵表示线性变换 

用矩阵表示线性方程组 

二、逆矩阵

1. 方阵行列式及其性质

方阵行列式 

运算性质 

2. 伴随矩阵及其性质

伴随矩阵 

运算性质 

3. 逆矩阵及其性质

若存在矩阵, 使得, 则称矩阵可逆, 称为的逆, 并记.

性质: 1)逆矩阵唯一.

2)若是同阶可逆矩阵, 则也是可逆矩阵, 且.

3)矩阵可逆的充要条件是.且当时, .

4)若可逆,数, 则都可逆, 且

5)若可逆, 则

4. 判定矩阵可逆的几个条件

(1)矩阵可逆的充要条件是.

(2)矩阵可逆的充要条件是, 存在矩阵, 使得.

5. 逆矩阵的计算方法

(1)伴随矩阵法 当时, .

(2)初等变换法 

三、初等变换

初等变换 P39

初等矩阵 对单位矩阵实施一次初等变换后的矩阵 P39

初等矩阵有三种类型 

初等矩阵是可逆矩阵 

初等矩阵的逆矩阵分别为

初等变换的性质:

定理1(P41 定理2.7)

 （）

 （）

 （）

定理2(P44 定理2.10) 任何矩阵都与形如的矩阵等价（其中由唯一决定）. 称为矩阵的等价标准形.

推论（P44 定理2.12） 对于任意矩阵, 一定存在可逆矩阵, 使得.

推论（P44 定理2.11） 可逆矩阵的等价标准形是单位矩阵, 即可逆矩阵等于初等矩阵之积.

6. 逆矩阵应用

利用逆矩阵解线性方程组 

利用逆矩阵求逆线性变换 

四、分块矩阵

分块对角阵 , 其中是方阵

分块对角阵的性质:

(1) ;

(2) 若, 则.