矩阵基本的计算规则

矩阵的加法与减法

原理：矩阵的加法和减法可以看作向量的分量逐个相加或相减的推广。矩阵中的元素本质上可以看作是数据或者空间中的某些点的坐标，因此加减矩阵就是在对应的点上叠加或抵消这些坐标。

• 规则：两个同型矩阵（行数和列数相同）才能相加或相减。
• 操作：将对应位置的元素分别相加或相减。

​ 例如，设有矩阵 A和 B：
$$\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{array}\right]$$
​ 则 A + B为：
$$\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}+b_{11}& a_{12}+b_{12}\\ a_{21}+b_{21}& a_{22}+b_{22}\end{array}\right]$$

• 几何意义：矩阵加法和减法实际上是对同维向量的加法和减法的扩展。对于每个位置的元素，表示两个数据的“平移”或“合并”，所以要保证两个矩阵的维度相同。
• 向量叠加：若 A 和 B 是表示某些向量的矩阵，A + B 的每个元素就是对应位置上两个向量分量的叠加。

例子：
$$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right]$$
则 A + B 为：
$$A+B=\left[\begin{array}{cc}1+5& 2+6\\ 3+7& 4+8\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}6& 8\\ 10& 12\end{array}\right]$$

矩阵的数乘

原理：数乘可以看成是将每个向量（即每行或每列）按比例放大或缩小。例如在空间中的二维向量，每个分量按相同的比例缩放，结果是一个按比例放大或缩小的新矩阵。

• 规则：矩阵的每个元素都乘以该数，得到一个新的矩阵。

• 操作：设矩阵 A 和实数 k，则 kA 为：
  $$kA=\left[\begin{array}{cc}k\cdot a_{11}& k\cdot a_{12}\\ k\cdot a_{21}& k\cdot a_{22}\end{array}\right]$$

• 几何意义：在几何上，可以理解为对每个数据点或坐标点的“拉伸”或“压缩”操作。

• 标量倍增：数乘就是一个线性运算，每个元素单独乘以该数，相当于在同一个尺度上拉伸。

例子：
假设矩阵 A 和实数 k = 3：
$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$$
则 3A 为：
$$3A=\left[\begin{array}{cc}3\cdot 1& 3\cdot 2\\ 3\cdot 3& 3\cdot 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3& 6\\ 9& 12\end{array}\right]$$

矩阵的转置

原理：转置操作把矩阵的行变成列，列变成行。它反映了矩阵数据排列的对称性，也是在某种程度上“翻转”了坐标系。

• 规则：将矩阵的行和列对换，得到转置矩阵。

• 操作：如果矩阵 A 的元素
  $$a_{ij}$$
  位于第 i 行第 j 列，那么转置矩阵
  $$A^T$$
  的元素
  $$a_{ji}$$
  位于第 j 行第 i 列。

  例如，矩阵 A：
  $$A=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]$$
  的转置
  $$A^T$$
  为：
  $$A^T=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{21}\\ a_{12}& a_{22}\end{array}\right]$$

• 几何意义：对于表示向量集合的矩阵，转置操作会把数据的横向和纵向结构进行对调。转置矩阵在内积和正交性方面具有重要应用。

• 应用：转置在几何变换中经常用到，例如将行向量转换成列向量时使用。

例子：
矩阵 A：
$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$$
的转置
$$A^T$$
为：
$$A^T=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right]$$

矩阵的乘法

原理：矩阵乘法是一种对向量进行线性组合的操作。它的计算规则基于向量的点积运算。对于矩阵 A 和 B，乘积矩阵 AB 中的每个元素就是 A 的行向量与 B 的列向量之间的内积。

• 规则：只有当矩阵 A 的列数等于矩阵 B 的行数时，矩阵 A 和矩阵 B 才能相乘。

• 操作：设 A 是 m × n 矩阵，B 是 n × p 矩阵，乘积 AB是一个 m × p 矩阵。元素
  $$c_{ij}$$
  计算公式为：

  $$c_{ij}=\sum _{k=1}^n{a}_{ik}\cdot b_{kj}$$

  举例：
  $$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 3\end{array}\right]$$
  则 AB 为：
  $$AB=\left[\begin{array}{cc}(1\cdot 2+2\cdot 1)& (1\cdot 0+2\cdot 3)\\ (3\cdot 2+4\cdot 1)& (3\cdot 0+4\cdot 3)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}4& 6\\ 10& 12\end{array}\right]$$

• 几何意义：矩阵乘法在几何上表示了线性变换的叠加。如果一个矩阵表示旋转，另一个表示缩放，那么矩阵相乘可以表示复合变换。

• 内积计算：矩阵乘法的每个元素通过对应行向量与列向量相乘并累加得到。

例子：
$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 3\end{array}\right]$$
则 AB 为：
$$AB=\left[\begin{array}{cc}(1\cdot 2+2\cdot 1)& (1\cdot 0+2\cdot 3)\\ (3\cdot 2+4\cdot 1)& (3\cdot 0+4\cdot 3)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}4& 6\\ 10& 12\end{array}\right]$$

单位矩阵与逆矩阵

• 单位矩阵：单位矩阵在矩阵乘法中相当于“1”。它是所有线性变换的基本单位，不改变任何向量的方向和长度，因此称为单位矩阵。

• 逆矩阵：如果一个矩阵 A 存在逆矩阵
  $$A^{-1}$$
  ，那么它可以“抵消”A 的变换效果，使得
  $$A\cdot A^{-1}=I$$
  ，这就类似于实数的除法。

例子：
假设 A 为：
$$A=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right]$$
那么其逆矩阵
$$A^{-1}$$
使得：
$$A\cdot A^{-1}=I$$