一维树状数组区间更新区间查询

推理过程

记$d[i]=a[i]-a[i-1]$，特别的，$d[1]=a[1]$，那么：

$\sum\limits_{j=1}^{i}a[j]=a[1]+a[2]+a[3]+\cdots+a[i]$

$=d[1]+(d[1]+d[2])+(d[1]+d[2]+d[3])+\cdots+(d[1]+d[2]+d[3]+\cdots+d[i])$

$=i*d[1]+(i-1)*d[2]+\cdots+2*d[i-1]+d[i]$

$=i*\sum\limits_{j=1}^{i}d[j]-(d[2]+2*d[3]+\cdots+(i-1)*d[i])$

$=(i+1)*\sum\limits_{j=1}^{i}d[j]-(d[1]+2*d[2]+3*d[3]+\cdots+i*d[i])$

$=(i+1)*\sum\limits_{j=1}^{i}d[j]-\sum\limits_{j=1}^{i}j*d[j]$

此时，$\sum\limits_{j=1}^{i}d[j]$可以在$O(logN)$时间复杂度内算出，令$f[j]=j*d[j]$，那么，$\sum\limits_{j=1}^{i}j*d[j]$也可以在$O(logN)$时间复杂度内算出，因此$\sum\limits_{j=1}^{i}a[j]$可在$O(logN)$时间复杂度内算出。

维护两个数组，$d[i] = a[i] - a[i - 1]$，$f[i] = i * d[i]$，剩下的，区间更新和区间查询就和【一维树状数组区间更新单点查询】一样了。

实现代码（以POJ3468为例）

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define MAXN 100010
typedef long long LL;
int n, m;
LL a[MAXN], d[MAXN], f[MAXN];

LL query(LL arr[], int x) {
    LL res = 0;
    for(int i = x; i > 0; i -= (i & -i))res += arr[i];
    return res;
}

void update(LL arr[], int x, LL val) {
    for(int i = x; i <= n; i += (i & -i))arr[i] += val;
}

inline LL sum(int x) {
    return LL(x + 1) * query(d, x) - query(f, x);
}

int main() {
    while(cin >> n >> m) {
        for(int i = 1; i <= n; ++i) {
            scanf("%lld", a + i);
            LL t = a[i] - a[i - 1];
            update(d, i, t);
            update(f, i, t * i);
        }
        char op[5];
        int l, r, c;
        while(m--) {
            scanf("%s", op);
            if(op[0] == 'C') {
                scanf("%d%d%d", &l, &r, &c);
                update(d, l, c);
                update(d, r + 1, -c);
                update(f, l, 1LL * l * c);
                update(f, r + 1, -1LL * (r + 1)*c);
            }
            else {
                scanf("%d%d", &l, &r);
                printf("%lld\n", sum(r) - sum(l - 1));
            }
        }
    }
    return 0;
}

 

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