求最大值

求$(\cos x+2)(\sin x+1)$的最大值

解： 设$$f(x)=\cos x \sin x +\cos x+ 2\sin x +2$$
令$t=\tan{\frac{x}{2}}$, 则
$$\sin x=\frac{1}{1+t^{2}}; \cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$$
带入$f(x)$, 转为求下式的最大值
$$g(t)=\frac{-t^{4}+2t^{3}+6t+1}{(1+t^{2})^{2}}+2$$
对$g(t)$求导数
$$g'(t)=\frac{-2(t^{4}+2t^{3}+6t^{2}+2t-3)}{(1+t^{2})^{3}}$$
令 $g'(t)=0$,即是使得
$$t^{4}+2t^{3}+6t^{2}+2t-3=0$$
对上式作因子分解
$$(t+1)(t^{3}+t^{2}+5t-3)=0$$
由一元三次方程求根公式，可得上式的四个根。$x_{0}=-1$.
$$x_{1}=-\frac{1}{3}-\frac{(1+ \sqrt{3}i)(31+3\sqrt{183})^{1/3}}{3\times 2^{2/3}}+\frac{7(1-\sqrt{3}i)}{3(2(31+3\sqrt{183}))^{1/3}}$$
$$x_{2}=-\frac{1}{3}-\frac{(1- \sqrt{3}i)(31+3\sqrt{183})^{1/3}}{3\times 2^{2/3}}+\frac{7(1+\sqrt{3}i)}{3(2(31+3\sqrt{183}))^{1/3}}$$
$$x_{3}=\frac{1}{3}\left(-1-\frac{7\times 2^{2/3}}{(31+3\sqrt{183})^{1/3}}+2^{1/3}(31+3\sqrt{183})^{1/3}\right)$$
判断$-1$与$x_{3}$的大小以便判断$g'(t)$的变化趋势也比较麻烦，由连续函数于闭区间上必可取得最大值和最小值，直接计算$g(+\infty),g(-\infty),g(-1),g(x_{3})$ 即得最大值为
$$g(x_{3})=2+\dfrac{\sqrt[3] {4644+183\sqrt{183}} }{12}+\dfrac{83}{4\sqrt[3] {4644+183\sqrt{183} }}$$

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