本文证明了函数f从集合X到Y时，对于Y的任意两个子集U和V，有f⁻¹(U∪V)=f⁻¹(U)∪f⁻¹(V)，f⁻¹(U∩V)=f⁻¹(U)∩f⁻¹(V)，f⁻¹(UV)=f⁻¹(U)f⁻¹(V)。通过直接证明的方式阐述了这些等式的正确性。
设f:X → Y是从一个集合X到另一个集合Y的函数，并设U,V是Y的子集.证明：f − 1(U∪V) = f − 1(U)∪f − 1(V).f − 1(U∩V) = f − 1(U)∩f − 1(V).f − 1(U\V) = f − 1(U)\f − 1(V).
证明：
∀x ∈ f − 1(U∪V),当且仅当f(x) ∈ U∪V.现在要说明的是：f(x) ∈ U∪V当且仅当x ∈ f − 1(U)∪f − 1(V).而这是容易证明的.∀x ∈ f − 1(U∩V),当且仅当f(x) ∈ U∩V.现在要说明的是：f(x) ∈ U∩V当且仅当x ∈ f − 1(U)∩f − 1(V).这也是容易证明的.∀x ∈ f − 1(U\V),当且仅当f(x) ∈ U\V.现在要说明的是：f(x) ∈ U\V当且仅当x ∈ f − 1(U)\f − 1(V).这是容易证明的.
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