公主选驸马问题的思维分析过程

原始问题：波斯公主到了适婚年龄，要选驸马。候选男子100名，都是公主没有见过的。百人以随机顺序，从公主面前逐一经过。每当一位男子在公主面前经过时，公主要么选他为驸马，要么不选。如果选他，其余那些还没有登场的男子就都遣散回家，选驸马的活动也over了。如果不选，当下这名男子就离开，也就是pass掉此人，下一人登场。被pass掉的，公主不可以反悔再从选。规则是，公主必须在这百人中选出一人做驸马，也就是说，如果前99人公主都看不中的话，她必须选择第100名男子为驸马，不管他有多么丑陋。

那我们的任务就是，给公主设计选择方法，让她有最高概率选到百人中最英俊的男子为驸马。

问题转换为：假设有100个数字，随机无放回的抽取K个数字（每次一个）。寻找一种策略使得第K次抽取到最大数字的概率最大化。

问题理解：并没有一种策略可以确保每进行一轮抽取都能在第K次抽到最大的数字，我们的目的只是让第K次抽到最大的数字概率最大化。

假设：为了方便说明，假设最大数字只有一个。

粗糙的解法：随机选择一个K值,则第K次抽到最大数字的概率明显就是0.01。所以到目前为止，baseline=0.01. 我们需要寻找一种策略使得这个概率大于0.01. 

正解：因为最大值出现的位置是不确的，其不确定性其实是可以度量的（通过信息熵，此处略...）。我们需要寻找一种策略降低其不确定性。用贝叶斯的角度看就是我们需要寻找先验知识，从信息论的角度看就是需要信息增益。策略最关键地方就是寻找先验知识。

重新阅读一下问题的条件：“随机无放回的抽取K个数字”。假设我们已经抽取了m个数字（m<k）,我们可以得到什么先验知识吗？显然我们可以得到这m个数字的分布状况的吗，比如均值，最大，最小值，众数和中位数等。这m个数字可以看作总体（100个数字）的一个抽样，一定程度上反应了总体的分布。 

这m个数字的分布状况就是我们得到的先验知识，进一步说m个数字中的最大值是我们得到的先验知识。因为目的是寻找100个数字中的最大值，所以第K次抽样的数字必须大于m中的最大值。m个数字中的最大值（定义为mx）是进一步抽取的基准，也就是说从第m+1次开始，只有抽到的值（max）比mx大，就可以停止抽取了（因为没有更多地先验知识可以支持我们继续抽样，这里我们假设mx是总体中第二大的数字。当然如果mx不是总体中第二大的数字，那么我们的策略就失败了。记住我们的目的只是找到一种策略使得第K次抽取到最大数字的概率最大化，而不是找到必胜策略）。如果第m+3次抽取到了max，则K=m+3.

策略：抽取了m个数字（m<k）,以m个数字中的最大值（定义为mx）做进一步抽取的基准，继续抽取直到抽到比mx大的数字停止，停止时候抽到的值就是策略认为的最大值。现在问题则是：如何确定m? 等同于如何确定m以确保前m个数最大概率包含前K-1个数的最大值？

\[P(m)=\sum_{k=m+1}^n \frac{1}{n}\cdot \frac{m}{k-1}= \frac{m}{n}\cdot \sum_{k=m+1}^n\frac{1}{k-1}\]

 使用x替换m/n,并假设n无限大。得到下面式子，并且对其求导是导数等于0。得到x=1/e. m=100/e=37.

\[p(xn)=x\int_{x}^{1}\frac{1}{t}dt=-xlnx\]

最终策略：先抽样37个数，记下最大值mx。然后继续抽样，如果抽到比mx大的数就停止。这样抽抽到最大值的概率是最大的。