使用R solve(a,b)解方程 - 1

解普通方程组可以用函数solve(),solve()的基本用法是solve(A,b),其中,A为方程组的系数矩阵,b为方程组的右端。例如:

已知方程组 :
2x1+2x3=1
2x1+x2+2x3=2
2x1+x2=3


解法如下 : 
方程组等效于 :
2x1+0x2+2x3=1
2x1+1x2+2x3=2
2x1+1x2+0x3=3

> A
     [,1] [,2] [,3]
[1,]    2    0    2
[2,]    2    1    2
[3,]    2    1    0

> b=1:3
> b
[1] 1 2 3

> solve(A,b)
[1]  1.0  1.0 -0.5

即x1=1,x2=1,x3=-0.5。

这个解法用到公式 : 
A %*% solve(A,b)  ==  b
其中 : 
> A
     [,1] [,2] [,3]
[1,]    2    0    2
[2,]    2    1    2
[3,]    2    1    0

solve(A,b)
x1
x2
x3

b
1
2
3


[参考]
1. help(solve)
### MATLAB 中 `roots` 和 `solve` 的数学原理 #### 使用 `roots` 函数求解多项式方程 对于给定的多项式系数向量 \( p \),`roots(p)` 返回该多项式的根。这些根可以通过特征值分解来获得。具体来说,如果有一个 n 次多项式: \[ P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 \] 那么其对应的伴随矩阵 A 可以构建如下[^1]: \[ A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -\frac{a_0}{a_n} & -\frac{a_1}{a_n} & -\frac{a_2}{a_n} & \cdots & -\frac{a_{n-1}}{a_n} \end{bmatrix} \] 此矩阵的特征值就是原多项式的根。 ```matlab p = [1, -6, 11, -6]; % 表示 x^3 - 6*x^2 + 11*x - 6 r = roots(p); disp(r); % 显示三个根 ``` #### 利用 `solve` 进行符号解析 `solve` 是用于寻找代数表达式的精确解决方案的一个强大工具。当面对的是线性或非线性的单变量或多变量方程式时,它会尝试找到所有的可能解并返回它们作为符号对象。这通常涉及到对方程进行简化、因式分解或是应用特定类型的变换直到能够识别出已知形式为止。 例如,在解决二次方程 ax²+bx+c=0 时,可能会先转换成标准形式再套入通用公式;而对于更复杂的非线性情况,则可能是基于模式匹配调用了内置的知识库中的某些算法来进行逐步推导。 ```matlab syms x; eqn = sin(x)^2 + cos(x)^2 == 1; % 定义三角恒等式 sol = solve(eqn,x,'ReturnConditions',true); disp(sol.conditions); % 输出条件下的通解 ```
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