poj 1006 Biorhythms

最新推荐文章于 2019-08-07 08:00:00 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/bo-tao/archive/2012/07/20/2601352.html

1.5 中国剩余定理

出自Bupt_wiki

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这篇文章写的很清晰，所有就COPY过来了，与大家分享；

●知识精讲

这个问题源自于我国数学古书《孙子算经》中的一道问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二。问物几何？”意思是一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数(满足条件且最小)。

做法是:

 n%3=2,n%5=3,n%7=2且3，5，7互质
 找到使(5×7)的倍数模3得1的数，答案是70
 找到使(3×7)的倍数模5得1的数，答案是21
 找到使(3×5)的倍数模7得1的数，答案是15
 那么(70×2+21×3+15×2) % (3×5×7) = 23,23就是最终答案了

理解如下：

70×2 = 140,当中的2是指n%3 = 2的2,因为70%3=1，乘2后使其能满足%3=2的条件,同理，
21×3使其能满足%5=3
15×2使其能满足%7=2
又70能整除5和7，21能整除3和7,15能整除3和5
因此70×2+21×3+15×2 = 233能满足%3=2,%5=3,%7=2的条件
将233对3×5×7=105取模，是为了取得最小的情况，因为105是能够同时整除3，5，7的数，如果减去，对该数满足%3=2，%5=3，%7=2没有影响。因此对105取模，得到的结果便是最小并满足条件的数

拓展开来问题就是有同余方程组 a = ai (mod ni)，求未知数a。方法是:

定义 n=n1*n2...nk, 其中因子两两互质
mi = n1*n2*...nk / ni;   
ci = mi(mf  mod ni);   
其中 mi*mf  mod ni = 1;
则 a = (a1*c1+a2*c2+...+ak*ck) (mod n)

中国剩余定理关键是mf的求法,如果理解了扩展欧几里得 ax+by=d, 就可以想到:

          mi*mf  mod ni = 1 => mi*mf+ni*y=1;

这里的中国剩余定理必须要求除数是互质的，但是有些题目的同余方程式除数并不互质，那么将不能使用传统的中国剩余定理

●例题分析

问题描述：POJ 1006

人自出生起就有体力，情感和智力三个生理周期，分别为23，28和33天。一个周期内有一天为峰值，在这一天，人在对应的方面（体力，情感或智力）表现最好。通常这三个周期的峰值不会是同一天。现在给出三个日期，分别对应于体力，情感，智力出现峰值的日期。然后再给出一个起始日期，要求从这一天开始，算出最少再过多少天后三个峰值同时出现。

问题分析：

这一题的做法可以类比算经中问题的方法

找到使(23×28)的公倍数模33得1的数，答案是1288

找到使(23×33)的公倍数模28得1的数，答案是14421|

找到使(28×33)的公倍数模23得1的数，答案是5544

(5544×p+14421×e+1288×i) % (23×28×33) = ans + d

若使用中国剩余定理的一般情况下的处理，则可按照一般情况的方法写出程序，参考核心程序为：

int mod[3],res[3];//除数，余数
void exGCD(int a,int b,int &x,int &y)//扩展欧几里得 
{
   if (b==0){
   	  x = 1;y = 0;return;
   }
   exGCD(b,a%b,x,y);
   int temp = x;
   x = y;
   y = temp-a/b*y;
}  
int china_mod()//中国剩余定理 
{
    int mul=1,ans=0,mf,y,mi;
    for (int i=0; i<3; i++)
       mul *= mod[i];
    for (int i=0; i<3; i++){
    	mi = mul/mod[i];
    	exGCD(mi,mod[i],mf,y);
    	ans += (mi*mf*res[i])%mul;
    }
    return (ans+mul)%mul;
}

View Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
#include<cstring>
#include<string>
#include<vector>
#define LL long long
using namespace std;
LL mod[3] = {23,28,33};
LL Ex_Gcd( LL a , LL b , LL &x ,LL &y )
{
   if( b == 0 )
   {
       x = 1;
       y = 0;
       return a;        
   }
   LL mod = Ex_Gcd( b , a % b , x , y );
   LL temp = x;
   x = y;
   y = temp - (a/b)*y;
   return mod;
}
LL Solve(  LL mul ,LL re[])
{
    LL ans = 0,x,y;
       for( int i = 0; i < 3 ; i ++ )
       {
        LL mi = mul/mod[i];
        Ex_Gcd( mi , mod[i] , x ,y  );
        ans +=(x*re[i]*mi )%mul;
    }
    return  (ans+mul)%mul;
}
int main(  )
{
    LL mul = 1;
    for( int i = 0 ; i < 3 ; i ++ )
         mul *= mod[i];
    LL re[3],d;
    int Case = 1;
    while( 1 )
    {
        int cnt = 0;
        for( int i = 0 ; i < 3 ; i ++ )
        {
          scanf( "%I64d",&re[i] );
          if( re[i] == -1 ) cnt++;
        }
        scanf( "%I64d",&d );
        if( d==-1&&cnt == 3 ) break;
        LL ans = Solve( mul ,re) -d;
        while( ans <= 0 ) ans += mul;
        printf( "Case %d: the next triple peak occurs in %I64d days.\n",Case++,ans  );
    }
    //system( "pause" );
    return 0;
}