m个苹果放入n个盘子问题

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问题一

问题描述：把m个同样的苹果放在n个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问有多少种不同的分法？(注：5,1,1和1,1,5是同一种分法)

解题分析：

设f(m,n)为m个苹果，n个盘子的放法数目，则先对n作讨论，

当n>m：则必定有n-m个盘子永远空着，去掉它们对摆放苹果方法数目不产生影响。即 if(n>m) f(m,n) = f(m,m)

当n <= m:不同的放法可以分成两类：含有0的方案数，不含有0的方案数

1、含有0的方案数，即有至少一个盘子空着，即相当于 f(m,n)=f(m,n-1);

2、不含有0的方案数，即所有的盘子都有苹果，相当于可以从每个盘子中拿掉一个苹果，不影响不同放法的数目，即 f(m,n)=f(m-n,n).而总的放苹果的放法数目等于两者的和，即 f(m,n)=f(m,n-1)+f(m-n,n)

递归出口条件说明：

当n=1时，所有苹果都必须放在一个盘子里，所以返回1；

当m==0(没有苹果可放)时，定义为1种放法；

递归

int fun(int m, int n) //m个苹果放在n个盘子中共有几种方法
{
    if(m==0 || n==1)
        return 1;
    if(n>m)
        return fun(m,m);
    else
        return fun(m,n-1)+fun(m-n,n);
}

动态规划

//放苹果
int main()
{
    int apple, plate;
    if(apple < 0 || apple > 10 || plate < 1 || plate > 10)
    {
        cout << -1 << endl;
        return -1;
    }
    vector<vector<int> > ivec(11, vector<int>(11,0));
    for(int i=0; i < 11; i++)
    {
        ivec[0][i] = 1;
        ivec[i][1] = 1;
    }
    for(int i = 1; i <= 10; ++i)
    {
        for(int j = 1; j <= 10; ++j)
        {
            if(j <= i)
                ivec[i][j] = ivec[i][j-1] + ivec[i-j][j];
            else
                ivec[i][j] = ivec[i][j];
        }
    }
    cout << ivec[apple][plate] << endl;
    return 0;
}

问题二

问题描述：将整数N分成K个整数的和且每个数大于等于A小于等于B，求有多少种分法

int Dynamics(int n, int k, int min) //将n分为k个整数，最小的大于等于min,最大的不超过B
{
    if(n < min) return 0;  //当剩下的比min小，则不符合要求，返回0
    if(k == 1) return 1;
    int sum = 0;
    for(int t = min; t <= B; t++)
    {
        sum += Dynamics(n-t, k-1, t);
    }
    return sum;
}

问题三

m---->相同， n---->相同， 不能为空

将m个苹果放进n个盘子中，有多少种方法。同时注意例如1、2和2、1这两种方案是一种方案。

思路，先把每个盘子都放一个苹果，这样问题就转化为：m-n个苹果放进n个盘子里，盘子允许空，即问题1

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