本文详细阐述了如何通过集合的定义和性质，证明两个集合元素之间的等价性。包括了两种不同形式的集合表达，分别从x等于y和x不等于y两个角度出发进行深入分析，最终得出了在特定条件下集合元素相等的结论。
（1）(x, y): = {{x}, {x, y}}.(x’, y’): = {{x’}, {x’, y’}}.
先证明x = x’, y = y’时，(x,y)=(x’, y’).这是很容易的.其次要证明，当{{x}, {x, y}} = {{x’}, {x’, y’}}时，可以推出x = x’, y = y’.分两种情况讨论，
(1)x = y.此时{{x}, {x, y}} = {{x}}.{{x}} = {{x’}, {x’, y’}}.则{x’} = {x’, y’}.则x’ = y’.则{{x}} = {{x’}}.则{x}={x’}则x = x’.成立.(2)x ≠ y.此时若{x}={x’},则{x,y}={x’, y’}.则x=x’.y=y’.若{x}={x’, y’}则x’ = y’ = x.{x,y}={x’}，则x=y=x’矛盾.
(2)(x,y):={x,{x,y}}.(x’, y’): = {x’, {x’, y’}}.
先证明x=x’, y = y’时，(x,y)=(x’, y’).这也是很容易的.其次要证明，当{x, {x, y}} = {x’, {x’, y’}}时，可以推出x = x’, y = y’.
若x=x’.则{x,y} ≠ {x’}否则x={x,y}.x集是一个集合，该集合含有自身，与正则公理的推论矛盾.可见{x, y} = {x’, y’}.因为x = x’所以y = y’.成立.若x ≠ x’则x = {x’, y’}.同样易证此时{x,y} ≠ {x’, y’}.则{x,y}=x’.则x={{x,y},y’}.易证x ≠ y’.否则x={x’, x}.一个集合含有本身是不允许的.可见，x必须等于x’.完毕
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