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Burnside定理在组合计数的应用

最新推荐文章于 2019-09-03 15:51:04 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/Ren-Ivan/p/8467451.html

本文探讨了如何利用Burnside定理解决一类旋转同构条件下的组合计数问题，通过动态规划预处理旋转不变的方案数，并结合模运算确保计算准确性。

我们要求方案数，还是旋转同构的，想burnside，如果我们能计算出转i位不变的满足条件的数量，那么这道题我们就解决了。

考虑转i位时，设tmp=gcd(i,n)，那么就共有tmp个循环节。

当tmp<=k时，只要不是所有的循环节都是女生就可以，所以数量为2^tmp-1，但是要特判k>=n，因为这时所有方案都满足条件。

当tmp>k时，我们需要在提前处理出符合条件的且旋转不变的方案数，考虑dp，我们设f[i][j]表示长度为i的线段第一位是男生，末尾有且仅有j位女生的满足条件的方案，g[i][j]与f相同，只是不限首位。h[i]表示环的，就是线段的去掉首尾相加大与k的，这里注意中间的区间位置不唯一。

最后直接上burnside就好了！

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cstring>
 3 #include <iostream>
 4 #include <algorithm>
 5 #include <cmath>
 6 #define int long long
 7 #define N 2050
 8 #define mod 100000007
 9 using namespace std;
10 int T,n,m,ans;
11 int f[N][N],g[N][N],h[N],s[N],pw[N];
12 int qp(int a,int b){
13     int c=1;
14     while(b){
15         if(b&1)c=c*a%mod;
16         a=a*a%mod; b>>=1;
17     }return c;
18 }
19 int gcd(int a,int b){return !b?a:gcd(b,a%b);}
20 signed main(){
21     scanf("%lld",&T);
22     pw[0]=1;
23     for(int i=1;i<=2000;i++)pw[i]=(pw[i-1]<<1)%mod;
24     while(T--){
25         ans=0;
26         scanf("%lld%lld",&n,&m);
27         f[1][0]=s[1]=1;f[1][1]=0;
28         for(int i=2;i<=n;i++){
29             f[i][0]=s[i]=s[i-1];
30             for(int j=1;j<=m&&j<i;j++){
31                 f[i][j]=f[i-1][j-1];
32                 (s[i]+=f[i][j])%=mod;
33             }
34         }
35         g[0][0]=s[0]=1;
36         for(int i=1;i<=n;i++){
37             g[i][0]=s[i]=s[i-1];
38             for(int j=1;j<=m&&j<=i;j++){
39                 g[i][j]=g[i-1][j-1];
40                 (s[i]+=g[i][j])%=mod;
41             }
42             h[i]=s[i];
43             for(int j=m+1;j<=2*m&&j<i;j++)
44                 h[i]=(h[i]-(f[i-j][0]*max((int)0,min(j-1,m)-max((int)1,j-m)+(int)1))%mod+mod)%mod;
45         }
46         for(int i=1;i<=n;i++){
47             int tmp=gcd(i,n);
48             if(tmp<=m){
49                 if(m>=n)ans=(ans+pw[tmp])%mod;
50                 else ans=(ans+pw[tmp]-1+mod)%mod;
51             }
52             else ans=(ans+h[tmp])%mod;
53         }
54         ans=ans*qp(n,mod-2)%mod;
55         printf("%lld\n",ans);
56     }
57     return 0;
58 }