二次型

0. 二次型x^TAx用于表示$\Sigma x_ix_j$这样的式子。

1. 对称矩阵A的最大/最小特征值，等于对应二次型x^TAx在||x||=1条件下的最大最小值。

解释：因为A是对称矩阵，因此可对角化为D，且对角化后的相似矩阵D与原矩阵A具有相同特征值。

若将原对称矩阵A看做向量组在标准（单位正交）基下的表示，将D看做向量组在另一个单位正交基下的表示，那么二次型y^TDy与x^TDx在||x||=1（也就是||y||=1，因为两个基都是单位正交）条件下理应具有相同的最大最小值。

矩阵D解耦了各方向向量，因此可以更简单的看出||y||=1限制条件下的最大最小值，就是其对角线元素的最大最小值，也就是最大最小特征向量。

2. 如果对上述问题增加限制条件x^Tu1=0，u1是最大特征值对应特征向量，那么因为x与最大特征向量正交，因此在该方向上取值只能为0，因此最大值就退到第二大特征向量。

3. 正定矩阵为对称矩阵，其特征值为正，因此其二次型在x!=0时总是非零。半正定矩阵在x!=0时也可能取零值。